先化简，再求值：，其中，．-优题课

问题背景

在 $△ ABC$ 中， $AB, BC, AC$ 三边的长分别为 $\sqrt{5}, \sqrt{10}, \sqrt{13}$ ，求这个三角形的面积。小辉在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为 $1$ ），再在网格中画出格点 $△ ABC$ （即 $△ ABC$ 三个顶点都在小正方形的顶点处），如图①所示.这样不需要求出 $△ ABC$ 的高，而借用网格就能计算出它的面积.

（1）请你将 $△ ABC$ 的面积直接填写在横线上，＿＿＿＿＿.

思维拓展

（2）我们把上述求 $△ ABC$ 面积的方法叫做构图法，若 $△ ABC$ 三边的长分别为 $\sqrt{5} a, 2 \sqrt{2} a, \sqrt{17} a (a > 0)$ ，请利用②的正方形网格（每个小正方形的边长为 $a$ ）画出相应的 $△ ABC$ ，并求出它的面积.

探索创新

（3）若 $△ ABC$ 三边的长分别为 $\sqrt{m^{2} + 16 n^{2}}, \sqrt{9 m^{2} + 4 n^{2}}, 2 \sqrt{m^{2} + n^{2}} (m > 0, n > 0$ ，且 $m \neq n)$ ，试运用构图法求出这个三角形的面积.

（1）证明： $\sqrt{a^{2} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{a^{2}}{{(ab + 1)}^{2}}} = |a + \frac{1}{b} - \frac{a}{ab + 1}|$ ；

（2）利用（1）式计算： $\sqrt{1 + 1990^{2} + \frac{1990^{2}}{1991^{2}}} - \frac{1}{1991}$ .

如图①，正方形 $ABDE, CDFI, EFGH$ 的面积分别为 $17, 10, 13$ ，图②中的 $DPQR$ 为矩形，对照图②求图①中 $ABCIGH$ 的面积.

如图，已知正方形 $ABCD$ 中， $BE = BD, CE / / BD, BE$ 与 $CD$ 交于点 $F$ ，证明： $DE = DF$ .

如图，在矩形 $ABCD$ 中， $AB = 12, AC = 20$ ，两条对角线相交于点 $O$ .以 $OB, OC$ 为邻边作第 $1$ 个平行四边形 $OB B_{1} C$ ，对角线相交于点 $A_{1}$ ；再以 $A_{1} B_{1}, A_{1} C$ 为邻边作第 $2$ 个平行四边形 $A_{1} B_{1} C_{1} C$ ，对角线相交于点 $O_{1}$ ；再以 $O_{1} B_{1}, O_{1} C_{1}$ 为邻边作第 $3$ 个平行四边形 $O_{1} B_{1} B_{2} C_{1}$ ；…，依此类推.

（1）求矩形 $ABCD$ 的面积；

（2）求第 $1$ 个平行四边形 $OB B_{1} C$ 、第 $2$ 个平行四边形 $A_{1} B_{1} C_{1} C$ 和第 $6$ 个平行四边形的面积.