计算：（1）；（2）-优题课

先化简，再求值： $\frac{x - 2}{x^{2} + 2 x} \div \frac{x^{2} - 4 x + 4}{x^{2} - 4} - \frac{1}{2 x}$ ，其中 $x = \sqrt{3}$ ．

如图，已知 $BF$ 是 $⊙ O$ 的直径， $A$ 为 $⊙ O$ 上（异于 $B$ 、 $F)$ 一点， $⊙ O$ 的切线 $MA$ 与 $FB$ 的延长线交于点 $M$ ； $P$ 为 $AM$ 上一点， $PB$ 的延长线交 $⊙ O$ 于点 $C$ ， $D$ 为 $BC$ 上一点且 $PA = PD$ ， $AD$ 的延长线交 $⊙ O$ 于点 $E$ ．

（1）求证： $\hat{BE} = \hat{CE}$ ；

（2）若 $ED$ 、 $EA$ 的长是一元二次方程 $x^{2} - 5 x + 5 = 0$ 的两根，求 $BE$ 的长；

（3）若 $MA = 6 \sqrt{2}$ ， $\sin ∠ AMF = \frac{1}{3}$ ，求 $AB$ 的长．

小明想要测量学校食堂和食堂正前方一棵树的高度，他从食堂楼底 $M$ 处出发，向前走3米到达 $A$ 处，测得树顶端 $E$ 的仰角为 $30 °$ ，他又继续走下台阶到达 $C$ 处，测得树的顶端 $E$ 的仰角是 $60 °$ ，再继续向前走到大树底 $D$ 处，测得食堂楼顶 $N$ 的仰角为 $45 °$ ．已知点离地面的高度 $AB = 2$ 米， $∠ BCA = 30 °$ ，且 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 三点在同一直线上．

（1）求树 $DE$ 的高度；

（2）求食堂 $MN$ 的高度．

关于 $x$ 的方程 $x^{2} - (2 k - 1) x + k^{2} - 2 k + 3 = 0$ 有两个不相等的实数根．

（1）求实数 $k$ 的取值范围；

（2）设方程的两个实数根分别为 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，存不存在这样的实数 $k$ ，使得 $| x_{1} | - | x_{2} | = \sqrt{5}$ ？若存在，求出这样的 $k$ 值；若不存在，说明理由．

先化简，再求值： $(x - 1 + \frac{3 - 3 x}{x + 1}) \div \frac{x^{2} - x}{x + 1}$ ，其中 $x$ 的值从不等式组 $\{\begin{matrix} 2 - x ⩽ 3 \\ 2 x - 4 < 1 \end{matrix}$ 的整数解中选取．