计算：（2）解方程：-优题课

我们知道，任意一个正整数 $x$ 都可以进行这样的分解： $x = m \times n (m$ ， $n$ 是正整数，且 $m ⩽ n)$ ，在 $x$ 的所有这种分解中，如果 $m$ ， $n$ 两因数之差的绝对值最小，我们就称 $m \times n$ 是 $x$ 的最佳分解．并规定： $f (x) = \frac{m}{n}$ ．

例如：18可以分解成 $1 \times 18$ ， $2 \times 9$ 或 $3 \times 6$ ，因为 $18 - 1 > 9 - 2 > 6 - 3$ ，所以 $3 \times 6$ 是18的最佳分解，所以 $f (18) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ ．

（1）填空： $f$ （6） $=$ 　　； $f$ （9） $=$ 　　；

（2）一个两位正整数 $t (t = 10 a + b$ ， $1 ⩽ a ⩽ b ⩽ 9$ ， $a$ ， $b$ 为正整数），交换其个位上的数字与十位上的数字得到的新数减去原数所得的差为54，求出所有的两位正整数；并求 $f (t)$ 的最大值；

（3）填空：

① $f (2^{2} \times 3 \times 5 \times 7) =$ 　　；② $f (2^{3} \times 3 \times 5 \times 7) =$ 　　；③ $f (2^{4} \times 3 \times 5 \times 7) =$ 　　；④ $f (2^{5} \times 3 \times 5 \times 7) =$ 　　．

如图， $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径， $C$ 是 $⊙ O$ 上一点， $OD ⊥ BC$ 于点 $D$ ，过点 $C$ 作 $⊙ O$ 的切线，交 $OD$ 的延长线于点 $E$ ，连结 $BE$ ．

（1）求证： $BE$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）设 $OE$ 交 $⊙ O$ 于点 $F$ ，若 $DF = 2$ ， $BC = 4 \sqrt{3}$ ，求线段 $EF$ 的长；

（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．

为了维护我国海洋权力，海监部门对我国领海实行了常态化巡航管理．如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时60海里的速度向正东方向航行，在 $A$ 处测得灯塔 $P$ 在北偏东 $60 °$ 方向上，海监船继续向东航行1小时到达 $B$ 处，此时测得灯塔 $P$ 在北偏东 $30 °$ 方向上．

（1）求 $B$ 处到灯塔 $P$ 的距离；

（2）已知灯塔 $P$ 的周围50海里内有暗礁，若海监船继续向正东方向航行是否安全？

我市某中学举行“法制进校园”知识竞赛，赛后将学生的成绩分为 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图．请你根据统计图解答下列问题．

（1）成绩为“ $B$ 等级”的学生人数有　　名；

（2）在扇形统计图中，表示“ $D$ 等级”的扇形的圆心角度数为　　，图中 $m$ 的值为　　；

（3）学校决定从本次比赛获得“ $A$ 等级”的学生中间选出2名去参加市中学生知识竞赛．已知“ $A$ 等级”中有1名女生，请用列表或画树状图的方法求出女生被选中的概率．

如图，点 $C$ 、 $E$ 、 $F$ 、 $B$ 在同一直线上，点 $A$ 、 $D$ 在 $BC$ 异侧， $AB / / CD$ ， $AE = DF$ ， $∠ A = ∠ D$ ．

（1）求证： $AB = CD$ ；

（2）若 $AB = CF$ ， $∠ B = 40 °$ ，求 $∠ D$ 的度数．