计算：．-优题课

已知：如图，在 $ΔABC$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ BAC$ 的平分线 $D$ 交 $BC$ 于点 $D$ ，过点 $D$ 作 $DE ⊥ AD$ 交 $AB$ 于点 $E$ ，以 $AE$ 为直径作 $⊙ O$ ．

（1）求证： $BC$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $AC = 3$ ， $BC = 4$ ，求 $BE$ 的长．

金桥学校“科技体艺节”期间，八年级数学活动小组的任务是测量学校旗杆 $AB$ 的高，他们在旗杆正前方台阶上的点 $C$ 处，测得旗杆顶端 $A$ 的仰角为 $45 °$ ，朝着旗杆的方向走到台阶下的点 $F$ 处，测得旗杆顶端 $A$ 的仰角为 $60 °$ ，已知升旗台的高度 $BE$ 为1米，点 $C$ 距地面的高度 $CD$ 为3米，台阶 $CF$ 的坡角为 $30 °$ ，且点 $E$ 、 $F$ 、 $D$ 在同一条直线上，求旗杆 $AB$ 的高度（计算结果精确到0.1米，参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.41$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73)$

已知：如图，在 $Rt Δ ACB$ 中， $∠ ACB = 90 °$ ，点 $D$ 是 $AB$ 的中点，且 $CD = \frac{1}{2} AB$ ，点 $E$ 是 $CD$ 的中点，过点 $C$ 作 $CF / / AB$ 交 $AE$ 的延长线于点 $F$ ．

（1）求证： $ΔADE ≅ ΔFCE$ ；

（2）若 $∠ DCF = 120 °$ ， $DE = 2$ ，求 $BC$ 的长．

先化简，再求值： ${(2 x + 1)}^{2} - 2 (x - 1) (x + 3) - 2$ ，其中 $x = \sqrt{2}$ ．

小明同学在一次社会实践活动中，通过对某种蔬菜在1月份至7月份的市场行情进行统计分析后得出如下规律：

①该蔬菜的销售单价 $P$ （单位：元 $/$ 千克）与时间 $x$ （单位：月份）满足关系： $P = 9 - x$ ；

②该蔬菜的平均成本 $y$ （单位：元 $/$ 千克）与时间 $x$ （单位：月份）满足二次函数关系 $y = a x^{2} + bx + 10$ ．

已知4月份的平均成本为2元 $/$ 千克，6月份的平均成本为1元 $/$ 千克．

（1）求该二次函数的解析式；

（2）请运用小明统计的结论，求出该蔬菜在第几月份的平均利润 $L$ （单位：元 $/$ 千克）最大？最大平均利润是多少？（注：平均利润 $=$ 销售单价 $-$ 平均成本）