侧棱长为的正三棱锥的侧面都是直角三角形，且四个顶点都在一个球-优题课

已知 $⊙ O$ 的半径为 $1$ ，直线 $P A$ 与 $⊙ O$ 相切于点 $A$ ，直线 $P B$ 与 $⊙ O$ 交于 $B$ ， $C$ 两点， $D$ 为 $B C$ 的中点，若 $|P O| = \sqrt{2}$ ，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P D}$ 的最大值为（）

A．

$\frac{1 + \sqrt{2}}{2}$

B．

$\frac{1 + 2 \sqrt{2}}{2}$

C．

$1 + \sqrt{2}$

D．

$2 + \sqrt{2}$

设 $A$ ， $B$ 为双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ 上两点，下列四个点中，可为线段 $A B$ 中点的是（）

A．

$(1, 1)$

B．

$(- 1, 2)$

C．

$(1, 3)$

D．

$(- 1, - 4)$

已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的公差为 $\frac{2 π}{3}$ ，集合 $S = \{\cos a_{n} n \in N^{*}\}$ ，若 $S = \{a, b\}$ ，则 $a b =$ （）

A．

$- 1$

B．

$- \frac{1}{2}$

C．

$0$

D．

$\frac{1}{2}$

已知 $△ A B C$ 为等腰直角三角形， $A B$ 为斜边， $△ A B D$ 为等边三角形，若二面角 $C - A B - D$ 为 $150 °$ ，则直线 $C D$ 与平面 $A B C$ 所成角的正切值为（）

A．

$\frac{1}{5}$

B．

$\frac{\sqrt{2}}{5}$

C．

$\frac{\sqrt{3}}{5}$

D．

$\frac{2}{5}$

已知圆锥 $P O$ 的底面半径为 $\sqrt{3}$ ， $O$ 为底面圆心， $P A$ ， $P B$ 为圆锥的母线， $∠ A O B = 120 °$ ，若 $△ P A B$ 的面积等于 $\frac{9 \sqrt{3}}{4}$ ，则该圆锥的体积为（）

A．

$π$

B．

$\sqrt{6} π$

C．

$3 π$

D．

$3 \sqrt{6} π$