如图所示,在平面直角坐标系xoy中,正方形OABC的边长为2-优题课

如图所示,在平面直角坐标系xoy中,正方形OABC的边长为2cm,点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上,抛物线经过点A、B和D（4,）．

（1）求抛物线的表达式．
（2）如果点P由点A出发沿AB边以2cm/s的速度向点B运动,同时点Q由点B出发,沿BC边以1cm/s的速度向点C运动,当其中一点到达终点时,另一点也随之停止运动．设S=PQ²（cm²）．
①试求出S与运动时间t之间的函数关系式,并写出t的取值范围;
②当S取时,在抛物线上是否存在点R,使得以点P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求出R点的坐标;如果不存在,请说明理由．
（3）在抛物线的对称轴上求点M,使得M到D、A的距离之差最大,求出点M的坐标．

科目数学题型解答题难度困难

知识点：二次函数在给定区间上的最值

已知：整式 $A = {(n^{2} - 1)}^{2} + {(2 n)}^{2}$ ，整式 $B > 0$ ．

尝试化简整式 $A$ ．

发现 $A = B^{2}$ ，求整式 $B$ ．

联想由上可知， $B^{2} = {(n^{2} - 1)}^{2} + {(2 n)}^{2}$ ，当 $n > 1$ 时， $n^{2} - 1$ ， $2 n$ ， $B$ 为直角三角形的三边长，如图．填写下表中 $B$ 的值：

直角三角形三边	$n^{2} - 1$	$2 n$	$B$
勾股数组Ⅰ	$/$	8	17
勾股数组Ⅱ	35	$/$

有个填写运算符号的游戏：在“1□2□6□9”中的每个□内，填入 $+$ ， $-$ ， $\times$ ， $\div$ 中的某一个（可重复使用），然后计算结果．

（1）计算： $1 + 2 - 6 - 9$ ；

（2）若 $1 \div 2 \times 6$ □ $9 = - 6$ ，请推算□内的符号；

（3）在“1□2□ $6 - 9$ ”的□内填入符号后，使计算所得数最小，直接写出这个最小数．

如图是轮滑场地的截面示意图，平台 $AB$ 距 $x$ 轴（水平）18米，与 $y$ 轴交于点 $B$ ，与滑道 $y = \frac{k}{x} (x ⩾ 1)$ 交于点 $A$ ，且 $AB = 1$ 米．运动员（看成点）在 $BA$ 方向获得速度 $v$ 米 $/$ 秒后，从 $A$ 处向右下飞向滑道，点 $M$ 是下落路线的某位置．忽略空气阻力，实验表明： $M$ ， $A$ 的竖直距离 $h$ （米 $)$ 与飞出时间 $t$ （秒 $)$ 的平方成正比，且 $t = 1$ 时 $h = 5$ ， $M$ ， $A$ 的水平距离是 $vt$ 米．

（1）求 $k$ ，并用 $t$ 表示 $h$ ；

（2）设 $v = 5$ ．用 $t$ 表示点 $M$ 的横坐标 $x$ 和纵坐标 $y$ ，并求 $y$ 与 $x$ 的关系式（不写 $x$ 的取值范围），及 $y = 13$ 时运动员与正下方滑道的竖直距离；

（3）若运动员甲、乙同时从 $A$ 处飞出，速度分别是5米 $/$ 秒、 $v_{乙}$ 米 $/$ 秒．当甲距 $x$ 轴1.8米，且乙位于甲右侧超过4.5米的位置时，直接写出 $t$ 的值及 $v_{乙}$ 的范围．

如图，点 $A$ 在数轴上对应的数为26，以原点 $O$ 为圆心， $OA$ 为半径作优弧 $\hat{AB}$ ，使点 $B$ 在 $O$ 右下方，且 $\tan ∠ AOB = \frac{4}{3}$ ，在优弧 $\hat{AB}$ 上任取一点 $P$ ，且能过 $P$ 作直线 $l / / OB$ 交数轴于点 $Q$ ，设 $Q$ 在数轴上对应的数为 $x$ ，连接 $OP$ ．

（1）若优弧 $\hat{AB}$ 上一段 $\hat{AP}$ 的长为 $13 π$ ，求 $∠ AOP$ 的度数及 $x$ 的值；

（2）求 $x$ 的最小值，并指出此时直线 $l$ 与 $\hat{AB}$ 所在圆的位置关系；

（3）若线段 $PQ$ 的长为12.5，直接写出这时 $x$ 的值．

如图，直角坐标系 $xOy$ 中，一次函数 $y = - \frac{1}{2} x + 5$ 的图象 $l_{1}$ 分别与 $x$ ， $y$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点，正比例函数的图象 $l_{2}$ 与 $l_{1}$ 交于点 $C (m, 4)$ ．

（1）求 $m$ 的值及 $l_{2}$ 的解析式；

（2）求 $S_{ΔAOC} - S_{ΔBOC}$ 的值；

（3）一次函数 $y = kx + 1$ 的图象为 $l_{3}$ ，且 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ， $l_{3}$ 不能围成三角形，直接写出 $k$ 的值．