已知
，直线
，
为平面上的动点，过点作
的垂线，垂足为点
，且
．
（1）求动点的轨迹曲线
的方程；
（2）设动直线
与曲线相切于点
，且与直线
相交于点
，试探究：在坐标平面内是否存在一个定点
，使得以
为直径的圆恒过此定点？若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由．
（本小题满分12分）某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率依次为
，且各轮问题能否正确回答互不影响．
（Ⅰ）求该选手进入第四轮才被淘汰的概率；
（Ⅱ）求该选手至多进入第三轮考核的概率．
（本小题满分13分）已知函数
．
（Ⅰ）当
时，函数
恰有3个零点，求实数
的取值范围；
（Ⅱ）若对任意
，有
恒成立，求
的取值范围．
（本小题满分12分）已知一个袋子中有3个白球和3个红球，这些球除颜色外完全相同．
（Ⅰ）每次从袋中取出一个球，取出后不放回，直到取到一个红球为止，求取球次数
的分布列和数学期望
；
（Ⅱ）每次从袋中取出一个球，取出后放回接着再取一个球，这样取3次，求取出红球次数
的数学期望
．
（本小题满分10分）已知函数
在
处取得极值．
（Ⅰ）求实数
的值；
（Ⅱ）过点
作曲线
的切线,求此切线方程．
（本小题满分10分）
（Ⅰ）证明：
．
（Ⅱ）已知圆的方程是
，则经过圆上一点
的切线方程为
，类比上述性质，试写出椭圆
类似的性质．