一张矩形纸片，剪下一个正方形，剩下一个矩形，称为第一次操作；-优题课

一张矩形纸片，剪下一个正方形，剩下一个矩形，称为第一次操作；在剩下的矩形纸片中再剪下一个正方形，剩下一个矩形，称为第二次操作；；若在第n次操作后，剩下的矩形为正方形，则称原矩形为n阶奇异矩形．如图1，矩形ABCD中，若AB=2，BC=6，则称矩形ABCD为2阶奇异矩形．

（1）判断与操作：如图2，矩形ABCD长为5，宽为2，它是奇异矩形吗？如果是，请写出它是几阶奇异矩形，并在图中画出裁剪线；如果不是，请说明理由．
（2）探究与计算：已知矩形ABCD的一边长为20，另一边长为a（a＜20），且它是3阶奇异矩形，请画出矩形ABCD及裁剪线的示意图，并在图的下方写出a的值．
（3）归纳与拓展：已知矩形ABCD两邻边的长分别为b，c（b＜c），且它是4阶奇异矩形，则b:c=___________________________________________（写出所有值）．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：圆内接四边形的性质

如图1，点 $A (0, 8)$ 、点 $B (2, a)$ 在直线 $y = - 2 x + b$ 上，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象经过点 $B$ ．

（1）求 $a$ 和 $k$ 的值；

（2）将线段 $AB$ 向右平移 $m$ 个单位长度 $(m > 0)$ ，得到对应线段 $CD$ ，连接 $AC$ 、 $BD$ ．

①如图2，当 $m = 3$ 时，过 $D$ 作 $DF ⊥ x$ 轴于点 $F$ ，交反比例函数图象于点 $E$ ，求 $\frac{DE}{EF}$ 的值；

②在线段 $AB$ 运动过程中，连接 $BC$ ，若 $ΔBCD$ 是以 $BC$ 为腰的等腰三角形，求所有满足条件的 $m$ 的值．

某学校八年级共400名学生，为了解该年级学生的视力情况，从中随机抽取40名学生的视力数据作为样本，数据统计如下：

4.2 4.1 4.7 4.1 4.3 4.3 4.4 4.6 4.1 5.2

5.2 4.5 5.0 4.5 4.3 4.4 4.8 5.3 4.5 5.2

4.4 4.2 4.3 5.3 4.9 5.2 4.9 4.8 4.6 5.1

4.2 4.4 4.5 4.1 4.5 5.1 4.4 5.0 5.2 5.3

根据数据绘制了如下的表格和统计图：

等级	视力 $(x)$	频数	频率
$A$	$x < 4.2$	4	0.1
$B$	$4.2 ⩽ x ⩽ 4.4$	12	0.3
$C$	$4.5 ⩽ x ⩽ 4.7$	$a$
$D$	$4.8 ⩽ x ⩽ 5.0$		$b$
$E$	$5.1 ⩽ x ⩽ 5.3$	10	0.25
合计		40	1

根据上面提供的信息，回答下列问题：

（1）统计表中的 $a =$ 　　， $b =$ 　　；

（2）请补全条形统计图；

（3）根据抽样调查结果，请估计该校八年级学生视力为“ $E$ 级”的有多少人？

（4）该年级学生会宣传部有2名男生和2名女生，现从中随机挑选2名同学参加“防控近视，爱眼护眼”宣传活动，请用树状图法或列表法求出恰好选中“1男1女”的概率．

如图， $AB$ 、 $CD$ 是 $⊙ O$ 的两条直径，过点 $C$ 的 $⊙ O$ 的切线交 $AB$ 的延长线于点 $E$ ，连接 $AC$ 、 $BD$ ．

（1）求证； $∠ ABD = ∠ CAB$ ；

（2）若 $B$ 是 $OE$ 的中点， $AC = 12$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

为提高学生的阅读兴趣，某学校建立了共享书架，并购买了一批书籍．其中购买 $A$ 种图书花费了3000元，购买 $B$ 种图书花费了1600元， $A$ 种图书的单价是 $B$ 种图书的1.5倍，购买 $A$ 种图书的数量比 $B$ 种图书多20本．

（1）求 $A$ 和 $B$ 两种图书的单价；

（2）书店在“世界读书日”进行打折促销活动，所有图书都按8折销售学校当天购买了 $A$ 种图书20本和 $B$ 种图书25本，共花费多少元？

如图，在 $▱ ABCD$ 中， $E$ 、 $F$ 分别是 $AD$ 和 $BC$ 上的点， $∠ DAF = ∠ BCE$ ．求证： $BF = DE$ ．