如图，正方形所在的平面与平面垂直，是和的交点，，且．（1）求-优题课

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题文

如图，正方形所在的平面与平面垂直，是和的交点，，且．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的大小．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：空间向量的应用

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在 $∆ A B C$ 中,内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ,已知 $B = C, 2 b = \sqrt{3} a$ ．

(Ⅰ)求 $\cos A$ 的值；
(Ⅱ) $\cos (2 A + \frac{π}{4})$ 的值．

编号为 $A_{1}, A_{2}, . . ., A_{16}$ 的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：

运动员编号	$A_{1}$	$A_{2}$	$A_{3}$	$A_{4}$	$A_{5}$	$A_{6}$	$A_{7}$	$A_{8}$
	得分	15	35	21	28	25	36	18	34
运动员编号	$A_{9}$	$A_{10}$	$A_{11}$	$A_{12}$	$A_{13}$	$A_{14}$	$A_{15}$	$A_{16}$
	得分	17	26	25	33	22	12	31	38

（Ⅰ）将得分在对应区间内的人数填入相应的空格；

区间	$[10, 20)$	$[20, 30)$	$[30, 40]$
人数

（Ⅱ）从得分在区间 $[20, 30)$ 内的运动员中随机抽取2人，
（i）用运动员的编号列出所有可能的抽取结果；
（ii）求这2人得分之和大于50分的概率．

设 $f (x) = \ln x$ ， $g (x) = f (x) + f^{`} (x)$ ．
（Ⅰ）求 $g (x)$ 的单调区间和最小值；
（Ⅱ）讨论 $g (x)$ 与 $g (\frac{1}{x})$ 的大小关系；
（Ⅲ）求 $a$ 的取值范围，使得 $g (a) - g (x) < \frac{1}{a}$ 对任意 $x > 0$ 成立．

如图， $A$ 地到火车站共有两条路径 $L_{1}$ 和 $L_{2}$ ，现随机抽取100位从 $A$ 地到火车站的人进行调查，调查结果如下：

所用时间（分钟）	10～20	20～30	30～40	40～50	50～60
选择 $L_{1}$ 的人数	6	12	18	12	12
选择 $L_{2}$ 的人数	0	4	16	16	4

（1）试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；
（2）分别求通过路径 $L_{1}$ 和 $L_{2}$ 所用时间落在上表中各时间段内的频率；
（3）现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽量大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．

如图，从点 $P_{1} (0, 0)$ 做 $x$ 轴的垂线交曲线 $y = e^{x}$ 于点 $Q_{1} (0, 1)$ ，曲线在 $Q_{1}$ 点处的切线与 $x$ 轴交于点 $P_{2}$ ，再从 $P_{2}$ 做 $x$ 轴的垂线交曲线于点 $Q_{2}$ ，依次重复上述过程得到一系列点： $P_{1}, Q_{1}; P_{2}, Q_{2} . . .; P_{n}, Q_{n}$ ，记 $P_{K}$ 点的坐标为 $(x_{k}, 0) (k = 1, 2, . . ., n)$ ．

（Ⅰ）试求 $x_{k}$ 与 $x_{k - 1}$ 的关系 $(2 \leq k \leq n)$ ；
（Ⅱ）求 $|P_{1} Q_{1}| + |P_{2} Q_{2}| + |P_{3} Q_{3}| + . . . + |P_{n} Q_{n}|$ ．

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