平面直角坐标第xoy中，A点的坐标为（0，5）．B、C分别是-优题课

平面直角坐标第xoy中，A点的坐标为（0，5）．B、C分别是x轴、y轴上的两个动点，C从A出发，沿y轴负半轴方向以1个单位/秒的速度向点O运动，点B从O出发，沿x轴正半轴方向以1个单位/秒的速度运动．设运动时间为t秒，点D是线段OB上一点，且BD=OC．点E是第一象限内一点，且AEDB．
（1）当t=4秒时，求过E、D、B三点的抛物线解析式．
（2）当0＜t＜5时，（如图甲），∠ECB的大小是否随着C、B的变化而变化？如果不变，求出它的大小．
（3）求证：∠APC=45°
（4）当t＞5时，（如图乙）∠APC的大小还是45°吗？请说明理由．

科目数学题型解答题难度较难

知识点：二次函数在给定区间上的最值

某校数学兴趣小组发现，很多同学矿泉水没有喝完便扔掉，造成了极大的浪费，为增强同学们的节水意识，小组成员在学校的春季运动会上，随机对部分同学半天时间内喝矿泉水的浪费情况进行了问卷调查（半天时间每人按一瓶 $500 mL$ 的矿泉水量计算）．问卷中将同学们扔掉的矿泉水瓶中剩余水量大致分为四种： $A$ ．全部喝完； $B$ ．喝剩约满瓶的 $\frac{1}{4}$ ； $C$ ．喝剩约满瓶的 $\frac{1}{2}$ ； $D$ ．喝剩约满瓶的 $\frac{3}{4}$ ．小组成员将收集的调查问卷进行数据整理，并根据整理结果绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，请根据统计图提供的信息，解答下列问题：

（1）此次问卷共调查了多少人？

（2）请补全条形统计图；

（3）计算平均每人半天浪费的矿泉水约为多少毫升？

（4）请估计这次春季运动会全校1000名同学半天浪费的水量相当于多少瓶矿泉水（每瓶按 $500 mL$ 计算）．

如图，在矩形 $ABCD$ 中，分别取 $AB$ ， $BC$ ， $CD$ ， $DA$ 的中点 $E$ ， $F$ ， $G$ ， $H$ ，连接 $EF$ ， $FG$ ， $GH$ ， $HE$ ，求证：四边形 $EFGH$ 是菱形．

如图，已知二次函数 $y = a x^{2} - 5 \sqrt{3} x + c (a > 0)$ 的图象与 $x$ 轴相交于不同的两点 $A (x_{1}$ ， $0)$ ， $B (x_{2}$ ， $0)$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ，

（1）若抛物线的对称轴为 $x = \sqrt{3}$ ，求 $a$ 的值；

（2）若 $a = 15$ ，求 $c$ 的取值范围；

（3）若该抛物线与 $y$ 轴相交于点 $D$ ，连接 $BD$ ，且 $∠ OBD = 60 °$ ，抛物线的对称轴 $l$ 与 $x$ 轴相交于点 $E$ ，点 $F$ 是直线 $l$ 上的一点，点 $F$ 的纵坐标为 $3 + \frac{1}{2 a}$ ，连接 $AF$ ，满足 $∠ ADB = ∠ AFE$ ，求该二次函数的解析式．

如图，已知 $AB$ 为 $⊙ O$ 的直径， $AB = 8$ ，点 $C$ 和点 $D$ 是 $⊙ O$ 上关于直线 $AB$ 对称的两个点，连接 $OC$ 、 $AC$ ，且 $∠ BOC < 90 °$ ，直线 $BC$ 和直线 $AD$ 相交于点 $E$ ，过点 $C$ 作直线 $CG$ 与线段 $AB$ 的延长线相交于点 $F$ ，与直线 $AD$ 相交于点 $G$ ，且 $∠ GAF = ∠ GCE$ ．

（1）求证：直线 $CG$ 为 $⊙ O$ 的切线；

（2）若点 $H$ 为线段 $OB$ 上一点，连接 $CH$ ，满足 $CB = CH$ ，

① $ΔCBH ∽ ΔOBC$ ；

②求 $OH + HC$ 的最大值．

如图已知函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0, x > 0)$ 的图象与一次函数 $y = mx + 5 (m < 0)$ 的图象相交不同的点 $A$ 、 $B$ ，过点 $A$ 作 $AD ⊥ x$ 轴于点 $D$ ，连接 $AO$ ，其中点 $A$ 的横坐标为 $x_{0}$ ， $ΔAOD$ 的面积为2．

（1）求 $k$ 的值及 $x_{0} = 4$ 时 $m$ 的值；

（2）记 $[]$ 表示为不超过 $x$ 的最大整数，例如： $[1.4] = 1$ ， $[2] = 2$ ，设 $t = OD \cdot DC$ ，若 $- \frac{3}{2} < m < - \frac{5}{4}$ ，求 $[m^{2} \cdot t]$ 值．