如图，在平面直角坐标系中，△ABC的边AB在x轴上，∠ABC-优题课

如图，在平面直角坐标系中，△ABC的边AB在x轴上，∠ABC=90°，AB=BC，OA=1，OB=4，抛物
线经过A、C两点．
（1）求抛物线的解析式及其顶点坐标；
（2）如图①，点P是抛物线上位于x轴下方的一点，点Q与点P关于抛物线的对称轴对称，过点P、Q分别向x轴作垂线，垂足为点D、E，记矩形DPQE的周长为d，求d的最大值，并求出使d最大值时点P的坐标；
（3）如图②，点M是抛物线上位于直线AC下方的一点，过点M作MF⊥AC于点F，连接MC，作MN∥BC交直线AC于点N，若MN将△MFC的面积分成2：3两部分，请确定M点的坐标．

科目数学题型解答题难度困难

知识点：二次函数在给定区间上的最值

在面积都相等的所有矩形中，当其中一个矩形的一边长为1时，它的另一边长为3．

（1）设矩形的相邻两边长分别为 $x$ ， $y$ ．

①求 $y$ 关于 $x$ 的函数表达式；

②当 $y ⩾ 3$ 时，求 $x$ 的取值范围；

（2）圆圆说其中有一个矩形的周长为6，方方说有一个矩形的周长为10，你认为圆圆和方方的说法对吗？为什么？

如图，在锐角三角形 $ABC$ 中，点 $D$ ， $E$ 分别在边 $AC$ ， $AB$ 上， $AG ⊥ BC$ 于点 $G$ ， $AF ⊥ DE$ 于点 $F$ ， $∠ EAF = ∠ GAC$ ．

（1）求证： $ΔADE ∽ ΔABC$ ；

（2）若 $AD = 3$ ， $AB = 5$ ，求 $\frac{AF}{AG}$ 的值．

在平面直角坐标系中，一次函数 $y = kx + b (k$ ， $b$ 都是常数，且 $k \neq 0)$ 的图象经过点 $(1, 0)$ 和 $(0, 2)$ ．

（1）当 $- 2 < x ⩽ 3$ 时，求 $y$ 的取值范围；

（2）已知点 $P (m, n)$ 在该函数的图象上，且 $m - n = 4$ ，求点 $P$ 的坐标．

为了了解某校九年级学生的跳高水平，随机抽取该年级50名学生进行跳高测试，并把测试成绩绘制成如图所示的频数表和未完成的频数直方图（每组含前一个边界值，不含后一个边界值）．

某校九年级50名学生跳高测试成绩的频数表

组别 $(m)$	频数
$1.09 ~ 1.19$	8
$1.19 ~ 1.29$	12
$1.29 ~ 1.39$	$a$
$1.39 ~ 1.49$	10

（1）求 $a$ 的值，并把频数直方图补充完整；

（2）该年级共有500名学生，估计该年级学生跳高成绩在 $1.29 m$ （含 $1.29 m)$ 以上的人数．

如图，在射线 $BA$ ， $BC$ ， $AD$ ， $CD$ 围成的菱形 $ABCD$ 中， $∠ ABC = 60 °$ ， $AB = 6 \sqrt{3}$ ， $O$ 是射线 $BD$ 上一点， $⊙ O$ 与 $BA$ ， $BC$ 都相切，与 $BO$ 的延长线交于点 $M$ ．过 $M$ 作 $EF ⊥ BD$ 交线段 $BA$ （或射线 $AD)$ 于点 $E$ ，交线段 $BC$ （或射线 $CD)$ 于点 $F$ ．以 $EF$ 为边作矩形 $EFGH$ ，点 $G$ ， $H$ 分别在围成菱形的另外两条射线上．

（1）求证： $BO = 2 OM$ ．

（2）设 $EF > HE$ ，当矩形 $EFGH$ 的面积为 $24 \sqrt{3}$ 时，求 $⊙ O$ 的半径．

（3）当 $HE$ 或 $HG$ 与 $⊙ O$ 相切时，求出所有满足条件的 $BO$ 的长．