情境·观察：将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，得到△ABC-优题课

情境·观察：
将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，得到△ABC和△,如图1所示，将△的顶点与点A重合，并绕点A按逆时针方向旋转，使点D，A（），B在同一条直线上，如图2所示，观察图2可知：旋转角= ° ，与BC相等的线段是。

问题·探究：
如图3，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC外作等腰直角△ABE和等腰直角△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q，试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论。

关系·拓展：
如图4，已知正方形ABCD，P为边BC上任意一点，连结AP，把AP绕点P顺时针方向旋转90°，点A对应点为点，连接,求的度数。

科目数学题型解答题难度较难

知识点：三角形的五心

已知 $O$ 为直线 $MN$ 上一点， $OP ⊥ MN$ ，在等腰 $Rt Δ ABO$ 中， $∠ BAO = 90 °$ ， $AC / / OP$ 交 $OM$ 于 $C$ ， $D$ 为 $OB$ 的中点， $DE ⊥ DC$ 交 $MN$ 于 $E$ ．

（1）如图1，若点 $B$ 在 $OP$ 上，则

① $AC$ 　　 $OE$ （填“ $<$ ”，“ $=$ ”或“ $>$ ” $)$ ；

②线段 $CA$ 、 $CO$ 、 $CD$ 满足的等量关系式是　　；

（2）将图1中的等腰 $Rt Δ ABO$ 绕 $O$ 点顺时针旋转 $α (0 ° < α < 45 °)$ ，如图2，那么（1）中的结论②是否成立？请说明理由；

（3）将图1中的等腰 $Rt Δ ABO$ 绕 $O$ 点顺时针旋转 $α (45 ° < α < 90 °)$ ，请你在图3中画出图形，并直接写出线段 $CA$ 、 $CO$ 、 $CD$ 满足的等量关系式　　．

某中学艺术节期间，学校向学生征集书画作品，杨老师从全校30个班中随机抽取了4个班（用 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 表示），对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了两幅不完整的统计图．

请根据以上信息，回答下列问题：

（1）杨老师采用的调查方式是　　（填“普查”或“抽样调查” $)$ ；

（2）请你将条形统计图补充完整，并估计全校共征集多少件作品？

（3）如果全校征集的作品中有5件获得一等奖，其中有3名作者是男生，2名作者是女生，现要在获得一等奖的作者中选取两人参加表彰座谈会，请你用列表或树状图的方法，求恰好选取的两名学生性别相同的概率．

如图，海中有一小岛 $A$ ，它周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在 $B$ 点测得小岛 $A$ 在北偏东 $60 °$ 方向上，航行12海里到达 $D$ 点，这时测得小岛 $A$ 在北偏东 $30 °$ 方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？

如图，抛物线 $y = a x^{2} + bx + c$ 经过 $A (- 1, 0)$ 、 $B (4, 0)$ 、 $C (0, 2)$ 三点，点 $D (x, y)$ 为抛物线上第一象限内的一个动点．

（1）求抛物线所对应的函数表达式；

（2）当 $ΔBCD$ 的面积为3时，求点 $D$ 的坐标；

（3）过点 $D$ 作 $DE ⊥ BC$ ，垂足为点 $E$ ，是否存在点 $D$ ，使得 $ΔCDE$ 中的某个角等于 $∠ ABC$ 的2倍？若存在，求点 $D$ 的横坐标；若不存在，请说明理由．

出关于 $x$ 的一元二次方程，解之取其非零值可得出点 $D$ 的横坐标．依此即可得解．

如图，正方形 $ABCD$ 中， $P$ 是对角线 $AC$ 上的一个动点（不与 $A$ 、 $C$ 重合），连结 $BP$ ，将 $BP$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $90 °$ 到 $BQ$ ，连结 $QP$ 交 $BC$ 于点 $E$ ， $QP$ 延长线与边 $AD$ 交于点 $F$ ．

（1）连结 $CQ$ ，求证： $AP = CQ$ ；

（2）若 $AP = \frac{1}{4} AC$ ，求 $CE : BC$ 的值；

（3）求证： $PF = EQ$ ．