如图，设P是圆x2y225上的动点，点D是P在x轴上投影，M-优题课

题文

如图，设 $P$ 是圆 $x^{2} + y^{2} = 25$ 上的动点，点 $D$ 是 $P$ 在 $x$ 轴上投影， $M$ 为 $P D$ 上一点，且 $|M D| = \frac{4}{5} |P D|$ ．

（1）当 $P$ 在圆上运动时，求点 $M$ 的轨迹 $C$ 的方程；
（2）求过点 $(3, 0)$ 且斜率为 $\frac{4}{5}$ 的直线被 $C$ 所截线段的长度．

科目数学题型解答题难度较难

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（本小题满分12分）
如图，在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为2，且过点.
求椭圆的方程；
若点，分别是椭圆的左、右顶点，直线经过点且垂直于轴，点是椭圆上异于，的任意一点，直线交于点

（ⅰ）设直线的斜率为直线的斜率为，求证：为定值；
（ⅱ）设过点垂直于的直线为.求证：直线过定点，并求出定点的坐标.

（本小题满分12分）
已知椭圆M的中心为坐标原点，且焦点在x轴上，若M的一个顶点恰好是抛物线的焦点，M的离心率，过M的右焦点F作不与坐标轴垂直的直线，交M于A，B两点。
（1）求椭圆M的标准方程；
（2）设点N（t，0）是一个动点，且，求实数t的取值范围。

（本小题满分12分）
某项计算机考试按科目A、科目B依次进行，只有大拿感科目A成绩合格时，才可继续参加科目B的考试，已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目均合格方快获得证书，现某人参加这项考试，科目A每次考试成绩合格的概率为，科目B每次考试合格的概率为，假设各次考试合格与否均互不影响．
（1）求他不需要补考就可获得证书的概率；
（2）在这次考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为，求随即变量的分布列和数学期望．