计算：.-优题课

某校为了解九年级学生每天参加体育锻炼的时间，从该校九年级学生中随机抽取20名学生进行调查，得到如下数据（单位：分钟） $:$

306070103011570607590157040751058060307045

对以上数据进行整理分析，得到下列表一和表二：

表一

时间 $t$ （单位：分钟）	$0 ⩽ t < 30$	$30 ⩽ t < 60$	$60 ⩽ t < 90$	$90 ⩽ t < 120$
人数	2	$a$	10	$b$

表二

平均数	中位数	众数
60	$c$	$d$

根据以上提供的信息，解答下列问题：

（1）填空

① $a =$ 　　， $b =$ 　　；

② $c =$ 　　， $d =$ 　　；

（2）如果该校现有九年级学生200名，请估计该校九年级学生每天参加体育锻炼的时间达到平均水平及以上的学生人数．

解不等式组： $\{\begin{matrix} 2 x + 3 (x - 2) < 4 ① \\ \frac{x + 3}{2} < \frac{2 x - 5}{3} + 3 ② \end{matrix}$ 并把解集在数轴上表示出来．

计算： ${(- 2)}^{2} - \sqrt{9} + {(\sqrt{2} - 1)}^{0} + {(\frac{1}{3})}^{- 1}$ ．

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，抛物线 $y = - \frac{1}{4} x^{2} + bx + c$ 经过点 $A (- 2, 0)$ ， $B (8, 0)$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点 $C$ 是抛物线与 $y$ 轴的交点，连接 $BC$ ，设点 $P$ 是抛物线上在第一象限内的点， $PD ⊥ BC$ ，垂足为点 $D$ ．

①是否存在点 $P$ ，使线段 $PD$ 的长度最大？若存在，请求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由；

②当 $ΔPDC$ 与 $ΔCOA$ 相似时，求点 $P$ 的坐标．

小明根据学习函数的经验，对函数 $y = x + \frac{1}{x}$ 的图象与性质进行了探究．

下面是小明的探究过程，请补充完整：

（1）函数 $y = x + \frac{1}{x}$ 的自变量 $x$ 的取值范围是　　．

（2）下表列出了 $y$ 与 $x$ 的几组对应值，请写出 $m$ ， $n$ 的值： $m =$ 　　， $n =$ 　　；

$x$

$\dots$

$- 3$

$- 2$

$- 1$

$- \frac{1}{2}$

$- \frac{1}{3}$

$\frac{1}{3}$

$\frac{1}{2}$

1

2

3

4

$\dots$

$y$

$\dots$

$- \frac{10}{3}$

$- \frac{5}{2}$

$- 2$

$- \frac{5}{2}$

$- \frac{10}{3}$

$m$

$\frac{5}{2}$

2

$\frac{5}{2}$

$n$

$\frac{17}{4}$

$\dots$

（3）如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；

（4）结合函数的图象，请完成：

①当 $y = - \frac{17}{4}$ 时， $x =$ 　　．

②写出该函数的一条性质　　．

③若方程 $x + \frac{1}{x} = t$ 有两个不相等的实数根，则 $t$ 的取值范围是　　．