在某张航海图上，标明了三个观测点的坐标，如图，O（0，0）、-优题课

在某张航海图上，标明了三个观测点的坐标，如图，O（0，0）、B（6，0）、C（6，8），由三个观测点确定的圆形区域是海洋生物保护区．
（1）求圆形区域的面积；
（2）某时刻海面上出现-渔船A，在观测点O测得A位于北偏东45°，同时在观测点B测得A位于北偏东30°，求观测点B到A船的距离．（≈1.7，保留三个有效数字）；
（3）当渔船A由（2）中位置向正西方向航行时，是否会进入海洋生物保护区？通过计算回答。

科目数学题型解答题难度较难

知识点：圆幂定理

关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + bx + 1 = 0$ ．

（1）当 $b = a + 2$ 时，利用根的判别式判断方程根的情况；

（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的 $a$ ， $b$ 的值，并求此时方程的根．

下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．

已知：直线 $l$ 及直线 $l$ 外一点 $P$ ．

求作：直线 $PQ$ ，使得 $PQ / / l$ ．

作法：如图，

①在直线 $l$ 上取一点 $A$ ，作射线 $PA$ ，以点 $A$ 为圆心， $AP$ 长为半径画弧，交 $PA$ 的延长线于点 $B$ ；

②在直线 $l$ 上取一点 $C$ （不与点 $A$ 重合），作射线 $BC$ ，以点 $C$ 为圆心， $CB$ 长为半径画弧，交 $BC$ 的延长线于点 $Q$ ；

③作直线 $PQ$ ．所以直线 $PQ$ 就是所求作的直线．

根据小东设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

（2）完成下面的证明．

证明： $∵ AB =$ 　　， $CB =$ 　　，

$∴ PQ / / l ($ 　　 $)$ （填推理的依据）．

在平面直角坐标系 $xOy$ 中的点 $P$ 和图形 $M$ ，给出如下的定义：若在图形 $M$ 上存在一点 $Q$ ，使得 $P$ 、 $Q$ 两点间的距离小于或等于1，则称 $P$ 为图形 $M$ 的关联点．

（1）当 $⊙ O$ 的半径为2时，

①在点 $P_{1} (\frac{1}{2}$ ， $0)$ ， $P_{2} (\frac{1}{2}$ ， $\frac{\sqrt{3}}{2})$ ， $P_{3} (\frac{5}{2}$ ， $0)$ 中， $⊙ O$ 的关联点是　　．

②点 $P$ 在直线 $y = - x$ 上，若 $P$ 为 $⊙ O$ 的关联点，求点 $P$ 的横坐标的取值范围．

（2） $⊙ C$ 的圆心在 $x$ 轴上，半径为2，直线 $y = - x + 1$ 与 $x$ 轴、 $y$ 轴交于点 $A$ 、 $B$ ．若线段 $AB$ 上的所有点都是 $⊙ C$ 的关联点，直接写出圆心 $C$ 的横坐标的取值范围．

在等腰直角 $ΔABC$ 中， $∠ ACB = 90 °$ ， $P$ 是线段 $BC$ 上一动点（与点 $B$ 、 $C$ 不重合），连接 $AP$ ，延长 $BC$ 至点 $Q$ ，使得 $CQ = CP$ ，过点 $Q$ 作 $QH ⊥ AP$ 于点 $H$ ，交 $AB$ 于点 $M$ ．

（1）若 $∠ PAC = α$ ，求 $∠ AMQ$ 的大小（用含 $α$ 的式子表示）．

（2）用等式表示线段 $MB$ 与 $PQ$ 之间的数量关系，并证明．

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，抛物线 $y = x^{2} - 4 x + 3$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ 、 $B$ （点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

（1）求直线 $BC$ 的表达式；

（2）垂直于 $y$ 轴的直线 $l$ 与抛物线交于点 $P (x_{1}$ ， $y_{1})$ ， $Q (x_{2}$ ， $y_{2})$ ，与直线 $BC$ 交于点 $N (x_{3}$ ， $y_{3})$ ，若 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，结合函数的图象，求 $x_{1} + x_{2} + x_{3}$ 的取值范围．