已知抛物线C:y2pxp<0的焦点为F，A为C上异于原点的任-优题课

已知抛物线 $C : y = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ， $A$ 为 $C$ 上异于原点的任意一点，过点 $A$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于另一点 $B$ ，交 $x$ 轴的正半轴于点 $D$ ，且有 $|F A| = |F D|$ .当点 $A$ 的横坐标为时， $∆ A D F$ 为正三角形.
（Ⅰ）求 $C$ 的方程；
（Ⅱ）若直线 $l_{1} ∥ l_{2}$ ，且 $l_{1}$ 和 $C$ 有且只有一个公共点 $E$ ，
（ⅰ）证明直线 $A E$ 过定点，并求出定点坐标；
（ⅱ） $∆ A B E$ 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.