如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴相交于两点，点是轴-优题课

如图，在平面直角坐标系中，直线=分别与轴，轴相交于两点，点是轴的负半轴上的一个动点，以为圆心，3为半径作.
（1）连结，若，试判断与轴的位置关系，并说明理由；
（2）当为何值时，以与直线=的两个交点和圆心为顶点的三角形是正三角形？

科目数学题型解答题难度困难

知识点：相似多边形的性质

某企业为了解员工安全生产知识掌握情况，随机抽取了部分员工进行安全生产知识测试，测试试卷满分100分．测试成绩按 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 四个等级进行统计，并将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图．（说明：测试成绩取整数， $A$ 级：90分 $~ 100$ 分； $B$ 级：75分 $~ 89$ 分； $C$ 级：60分 $~ 74$ 分； $D$ 级：60分以下）

请解答下列问题：

（1）该企业员工中参加本次安全生产知识测试共有　　人；

（2）补全条形统计图；

（3）若该企业共有员工800人，试估计该企业员工中对安全生产知识的掌握能达到 $A$ 级的人数．

已知：如图，在 $▱ ABCD$ 中，点 $E$ 、 $F$ 分别是边 $AD$ 、 $BC$ 的中点．求证： $BE = DF$ ．

已知平面图形 $S$ ，点 $P$ 、 $Q$ 是 $S$ 上任意两点，我们把线段 $PQ$ 的长度的最大值称为平面图形 $S$ 的“宽距”．例如，正方形的宽距等于它的对角线的长度．

（1）写出下列图形的宽距：

①半径为1的圆：　　；

②如图1，上方是半径为1的半圆，下方是正方形的三条边的“窗户形“：　　；

（2）如图2，在平面直角坐标系中，已知点 $A (- 1, 0)$ 、 $B (1, 0)$ ， $C$ 是坐标平面内的点，连接 $AB$ 、 $BC$ 、 $CA$ 所形成的图形为 $S$ ，记 $S$ 的宽距为 $d$ ．

①若 $d = 2$ ，用直尺和圆规画出点 $C$ 所在的区域并求它的面积（所在区域用阴影表示）；

②若点 $C$ 在 $⊙ M$ 上运动， $⊙ M$ 的半径为1，圆心 $M$ 在过点 $(0, 2)$ 且与 $y$ 轴垂直的直线上．对于 $⊙ M$ 上任意点 $C$ ，都有 $5 ⩽ d ⩽ 8$ ，直接写出圆心 $M$ 的横坐标 $x$ 的取值范围．

如图，二次函数 $y = - x^{2} + bx + 3$ 的图象与 $x$ 轴交于点 $A$ 、 $B$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，点 $A$ 的坐标为 $(- 1, 0)$ ，点 $D$ 为 $OC$ 的中点，点 $P$ 在抛物线上．

（1） $b =$ 　　；

（2）若点 $P$ 在第一象限，过点 $P$ 作 $PH ⊥ x$ 轴，垂足为 $H$ ， $PH$ 与 $C$ 、 $BD$ 分别交于点 $M$ 、 $N$ ．是否存在这样的点 $P$ ，使得 $PM = MN = NH$ ？若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若点 $P$ 的横坐标小于3，过点 $P$ 作 $PQ ⊥ BD$ ，垂足为 $Q$ ，直线 $PQ$ 与 $x$ 轴交于点 $R$ ，且 $S_{ΔPQB} = 2 S_{ΔQRB}$ ，求点 $P$ 的坐标．

（阅读）

数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数、三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”．“算两次”也称做富比尼原理，是一种重要的数学思想．

（理解）

（1）如图1，两个直角边长分别为 $a$ 、 $b$ 、斜边长为 $c$ 的直角三角形和一个两条直角边都是 $c$ 的直角三角形拼成一个梯形．用两种不同的方法计算梯形的面积，并写出你发现的结论；

（2）如图2， $n$ 行 $n$ 列的棋子排成一个正方形，用两种不同的方法计算棋子的个数，可得等式： $n^{2} =$ 　　；

（运用）

（3） $n$ 边形有 $n$ 个顶点，在它的内部再画 $m$ 个点，以 $(m + n)$ 个点为顶点，把 $n$ 边形剪成若干个三角形，设最多可以剪得 $y$ 个这样的三角形．当 $n = 3$ ， $m = 3$ 时，如图3，最多可以剪得7个这样的三角形，所以 $y = 7$ ．

①当 $n = 4$ ， $m = 2$ 时，如图4， $y =$ 　　；当 $n = 5$ ， $m =$ 　　时， $y = 9$ ；

②对于一般的情形，在 $n$ 边形内画 $m$ 个点，通过归纳猜想，可得 $y =$ 　　（用含 $m$ 、 $n$ 的代数式表示）．请对同一个量用算两次的方法说明你的猜想成立．