考试前，同学们总会采用各种方式缓解考试压力，以最佳状态迎接考-优题课

如图，在 $ΔABC$ 和 $ΔCED$ 中， $AB / / CD$ ， $AB = CE$ ， $AC = CD$ ．求证： $∠ B = ∠ E$ ．

如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = - \frac{1}{3} x^{2} + \frac{2 \sqrt{3}}{3} x + 3$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 左侧），与 $y$ 轴交于点 $C$ ，抛物线的顶点为点 $E$ ．

（1）判断 $ΔABC$ 的形状，并说明理由；

（2）经过 $B$ ， $C$ 两点的直线交抛物线的对称轴于点 $D$ ，点 $P$ 为直线 $BC$ 上方抛物线上的一动点，当 $ΔPCD$ 的面积最大时， $Q$ 从点 $P$ 出发，先沿适当的路径运动到抛物线的对称轴上点 $M$ 处，再沿垂直于抛物线对称轴的方向运动到 $y$ 轴上的点 $N$ 处，最后沿适当的路径运动到点 $A$ 处停止．当点 $Q$ 的运动路径最短时，求点 $N$ 的坐标及点 $Q$ 经过的最短路径的长；

（3）如图2，平移抛物线，使抛物线的顶点 $E$ 在射线 $AE$ 上移动，点 $E$ 平移后的对应点为点 $E'$ ，点 $A$ 的对应点为点 $A'$ ，将 $ΔAOC$ 绕点 $O$ 顺时针旋转至△ $A_{1} O C_{1}$ 的位置，点 $A$ ， $C$ 的对应点分别为点 $A_{1}$ ， $C_{1}$ ，且点 $A_{1}$ 恰好落在 $AC$ 上，连接 $C_{1} A'$ ， $C_{1} E'$ ，△ $A' C_{1} E'$ 是否能为等腰三角形？若能，请求出所有符合条件的点 $E'$ 的坐标；若不能，请说明理由．

在 $ΔABC$ 中， $∠ B = 45 °$ ， $∠ C = 30 °$ ，点 $D$ 是 $BC$ 上一点，连接 $AD$ ，过点 $A$ 作 $AG ⊥ AD$ ，在 $AG$ 上取点 $F$ ，连接 $DF$ ．延长 $DA$ 至 $E$ ，使 $AE = AF$ ，连接 $EG$ ， $DG$ ，且 $GE = DF$ ．

（1）若 $AB = 2 \sqrt{2}$ ，求 $BC$ 的长；

（2）如图1，当点 $G$ 在 $AC$ 上时，求证： $BD = \frac{1}{2} CG$ ；

（3）如图2，当点 $G$ 在 $AC$ 的垂直平分线上时，直接写出 $\frac{AB}{CG}$ 的值．

我们知道，任意一个正整数 $n$ 都可以进行这样的分解： $n = p \times q (p$ ， $q$ 是正整数，且 $p ⩽ q)$ ，在 $n$ 的所有这种分解中，如果 $p$ ， $q$ 两因数之差的绝对值最小，我们就称 $p \times q$ 是 $n$ 的最佳分解．并规定： $F (n) = \frac{p}{q}$ ．例如12可以分解成 $1 \times 12$ ， $2 \times 6$ 或 $3 \times 4$ ，因为 $12 - 1 > 6 - 2 > 4 - 3$ ，所以 $3 \times 4$ 是12的最佳分解，所以 $F (12) = \frac{3}{4}$ ．

（1）如果一个正整数 $a$ 是另外一个正整数 $b$ 的平方，我们称正整数 $a$ 是完全平方数．求证：对任意一个完全平方数 $m$ ，总有 $F (m) = 1$ ；

（2）如果一个两位正整数 $t$ ， $t = 10 x + y (1 ⩽ x ⩽ y ⩽ 9$ ， $x$ ， $y$ 为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为18，那么我们称这个数 $t$ 为"吉祥数"，求所有"吉祥数"中 $F (t)$ 的最大值．

近期猪肉价格不断走高，引起了民众与政府的高度关注．当市场猪肉的平均价格每千克达到一定的单价时，政府将投入储备猪肉以平抑猪肉价格．

（1）从今年年初至5月20日，猪肉价格不断走高，5月20日比年初价格上涨了 $60 %$ ．某市民在今年5月20日购买2.5千克猪肉至少要花100元钱，那么今年年初猪肉的最低价格为每千克多少元？

（2）5月20日，猪肉价格为每千克40元．5月21日，某市决定投入储备猪肉并规定其销售价在每千克40元的基础上下调 $a %$ 出售．某超市按规定价出售一批储备猪肉，该超市在非储备猪肉的价格仍为每千克40元的情况下，该天的两种猪肉总销量比5月20日增加了 $a %$ ，且储备猪肉的销量占总销量的 $\frac{3}{4}$ ，两种猪肉销售的总金额比5月20日提高了 $\frac{1}{10} a %$ ，求 $a$ 的值．