一个圆柱形水桶，高0.8米，底面半径是0.2米，装了半桶水，-优题课

在平面直角坐标系中，点 $O$ 是坐标原点，抛物线 $y ＝ a x^{2} + b x （ a \neq 0 ）$ 经过点 $A （ 3 ， 3 ）$ ，对称轴为直线 $x ＝ 2$ ．

（1）求 $a ， b$ 的值；

（2）已知点 $B ， C$ 在抛物线上，点 $B$ 的横坐标为 $t$ ，点 $C$ 的横坐标为 $t + 1$ ．过点 $B$ 作 $x$ 轴的垂线交直线 $O A$ 于点 $D$ ，过点 $C$ 作 $x$ 轴的垂线交直线 $O A$ 于点 $E$ ．

（i）当 $0 ＜ t ＜ 2$ 时，求 $△ O B D$ 与 $△ A C E$ 的面积之和；

（ii）在抛物线对称轴右侧，是否存在点 $B$ ，使得以 $B ， C ， D ， E$ 为顶点的四边形的面积为 $\frac{3}{2}$ ？若存在，请求出点 $B$ 的横坐标 $t$ 的值；若不存在，请说明理由．

在 $R t △ A B C$ 中， $M$ 是斜边 $A B$ 的中点，将线段 $M A$ 绕点 $M$ 旋转至 $M D$ 位置，点 $D$ 在直线 $A B$ 外，连接 $A D ， B D$ ．

（1）如图1，求 $∠ A D B$ 的大小；

（2）已知点 $D$ 和边 $A C$ 上的点 $E$ 满足 $M E ⊥ A D ， D E ∥ A B$ ．

（i）如图2，连接 $C D$ ，求证： $B D ＝ C D$ ；

（ii）如图3，连接 $B E$ ，若 $A C ＝ 8 ， B C ＝ 6$ ，求 $\tan ∠ A B E$ 的值．

端午节是中国的传统节日，民间有端午节吃粽子的习俗．在端午节来临之际，某校七、八年级开展了一次“包粽子”实践活动，对学生的活动情况按 $10$ 分制进行评分，成绩（单位：分）均为不低于 $6$ 的整数．为了解这次活动的效果，现从这两个年级各随机抽取 $10$ 名学生的活动成绩作为样本进行整理，并绘制统计图表，部分信息如下：

八年级 $10$ 名学生活动成绩统计表

成绩/分	6	7	8	9	10
人数	1	2	a	b	2

已知八年级 $10$ 名学生活动成绩的中位数为 $8.5$ 分．

请根据以上信息，完成下列问题：

（1）样本中，七年级活动成绩为 $7$ 分的学生数是＿＿＿＿＿，七年级活动成绩的众数为　＿＿＿＿＿分；

（2） $a ＝$ ＿＿＿＿＿， $b ＝$ ＿＿＿＿＿；

（3）若认定活动成绩不低于 $9$ 分为“优秀”，根据样本数据，判断本次活动中优秀率高的年级是否平均成绩也高，并说明理由．

已知四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ，对角线 $B D$ 是 $⊙ O$ 的直径．

（1）如图1，连接 $O A ， C A$ ，若 $O A ⊥ B D$ ，求证： $C A$ 平分 $∠ B C D$ ；

（2）如图2， $E$ 为 $⊙ O$ 内一点，满足 $A E ⊥ B C ， C E ⊥ A B$ ．若 $B D ＝ 3 \sqrt{3}$ ， $A E ＝ 3$ ，求弦 $B C$ 的长．

如图， $O ， R$ 是同一水平线上的两点，无人机从 $O$ 点竖直上升到 $A$ 点时，测得 $A$ 到 $R$ 点的距离为 $40 m$ ， $R$ 点的俯角为 $24.2 °$ ，无人机继续竖直上升到 $B$ 点，测得 $R$ 点的俯角为 $36.9 °$ ．求无人机从 $A$ 点到 $B$ 点的上升高度 $A B$ （精确到 $0.1 m$ ）．

参考数据： $\sin 24.2 ° \approx 0.41 ， \cos 24.2 ° \approx 0.91 ， \tan 24.2 ° \approx 0.45 ， \sin 36.9 ° \approx 0.60 ， \cos 36.9 ° \approx 0.80 ， \tan 36.9 ° \approx 0.75$ ．