(本小题满分12分)某校从参加某次计算机能力测试学生中抽出36名学生,并统计了他们的计算机成绩(成绩均为整数且满分为120分),成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是:.
(1)求实数a的值并求这36名学生成绩的样本平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(2)已知计算机成绩为120分有4位同学,从这4位同学中任选两位同学,再从计算机成绩在中任选一位同学组成“二帮一”小组.已知甲同学的成绩为81分,乙同学的成绩为120分,求甲、乙两同学恰好被安排在同一个“二帮一”小组的概率.
(本小题满分12分)已知函数,
.
(1)求函数的单调递增区间;
(2)在中,角
所对的边分别为
,
,且向量
与
垂直,求
的面积.
(本小题满分14分)如图,已知椭圆:
的离心率为
,
、
、
、
是其四个顶点,且四边形
的面积为
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)已知直线与椭圆
交于
、
两点,
(ⅰ)若直线过点
,则是否存在直线
,使得以
为直径的圆经过点
?求直线
的方程;如果存在求出直线
的方程;如果不存在,是说明理由.
(ⅱ)若,且坐标原点在以
为直径的圆外,求该直线在
轴上的截距的取值范围.
(本小题满分13分)设函数.
(Ⅰ)试讨论函数的单调区间;
(Ⅱ)设,若对于任意给定的
,方程
在
内有两个不同的根,求实数
的取值范围.
(本小题满分12分)已知数列的前
项和
,正项等比数列
满足:
,且
.
(Ⅰ)求数列和
的通项公式;
(Ⅱ)若数列满足:
,其前
项和为
,证明:
.