－3.5÷78×(－87)×|－364|-优题课

如图，地面上两个村庄 $C$ 、 $D$ 处于同一水平线上，一飞行器在空中以6千米 $/$ 小时的速度沿 $MN$ 方向水平飞行，航线 $MN$ 与 $C$ 、 $D$ 在同一铅直平面内．当该飞行器飞行至村庄 $C$ 的正上方 $A$ 处时，测得 $∠ NAD = 60 °$ ；该飞行器从 $A$ 处飞行40分钟至 $B$ 处时，测得 $∠ ABD = 75 °$ ．求村庄 $C$ 、 $D$ 间的距离 $(\sqrt{3}$ 取1.73，结果精确到0.1千米）

随着互联网的迅速发展，某购物网站的年销售额从2013年的200万元增长到2015年的392万元．求该购物网站平均每年销售额增长的百分率．

计算或化简：

（1） $\frac{1}{2} \sqrt{12} - (3 \sqrt{\frac{1}{3}} + \sqrt{2})$ ；

（2） $(\frac{m}{m - 2} - \frac{2 m}{m^{2} - 4}) \div \frac{m}{m + 2}$ ．

如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，将二次函数 $y = x^{2} - 1$ 的图象 $M$ 沿 $x$ 轴翻折，把所得到的图象向右平移2个单位长度后再向上平移8个单位长度，得到二次函数图象 $N$ ．

（1）求 $N$ 的函数表达式；

（2）设点 $P (m, n)$ 是以点 $C (1, 4)$ 为圆心、1为半径的圆上一动点，二次函数的图象 $M$ 与 $x$ 轴相交于两点 $A$ 、 $B$ ，求 $P A^{2} + P B^{2}$ 的最大值；

（3）若一个点的横坐标与纵坐标均为整数，则该点称为整点．求 $M$ 与 $N$ 所围成封闭图形内（包括边界）整点的个数．

已知 $ΔABC$ 是等腰直角三角形， $AC = BC = 2$ ， $D$ 是边 $AB$ 上一动点 $(A$ 、 $B$ 两点除外），将 $ΔCAD$ 绕点 $C$ 按逆时针方向旋转角 $α$ 得到 $ΔCEF$ ，其中点 $E$ 是点 $A$ 的对应点，点 $F$ 是点 $D$ 的对应点．

（1）如图1，当 $α = 90 °$ 时， $G$ 是边 $AB$ 上一点，且 $BG = AD$ ，连接 $GF$ ．求证： $GF / / AC$ ；

（2）如图2，当 $90 ° ⩽ α ⩽ 180 °$ 时， $AE$ 与 $DF$ 相交于点 $M$ ．

①当点 $M$ 与点 $C$ 、 $D$ 不重合时，连接 $CM$ ，求 $∠ CMD$ 的度数；

②设 $D$ 为边 $AB$ 的中点，当 $α$ 从 $90 °$ 变化到 $180 °$ 时，求点 $M$ 运动的路径长．