如图，正方形ABCD的边长是6，以正方形的一边BC为直径做半-优题课

如图，正方形ABCD的边长是6，以正方形的一边BC为直径做半圆，过点A作AF切半圆于点F，交DC于点E，求四边形ABCE的面积。

科目数学题型解答题难度中等

知识点：圆幂定理圆内接四边形的性质

计算： $2 \cos 45 ° + {(π - 2020)}^{0} + | 2 - \sqrt{2} |$ ．

如图，抛物线 $y = - x^{2} + bx + 5$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点．

（1）若过点 $C$ 的直线 $x = 2$ 是抛物线的对称轴．

①求抛物线的解析式；

②对称轴上是否存在一点 $P$ ，使点 $B$ 关于直线 $OP$ 的对称点 $B^{'}$ 恰好落在对称轴上．若存在，请求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

（2）当 $b ⩾ 4$ ， $0 ⩽ x ⩽ 2$ 时，函数值 $y$ 的最大值满足 $3 ⩽ y ⩽ 15$ ，求 $b$ 的取值范围．

阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形的重心．

（1）特例感知：如图（一 $)$ ，已知边长为2的等边 $ΔABC$ 的重心为点 $O$ ，求 $ΔOBC$ 与 $ΔABC$ 的面积．

（2）性质探究：如图（二 $)$ ，已知 $ΔABC$ 的重心为点 $O$ ，请判断 $\frac{OD}{OA}$ 、 $\frac{S_{ΔOBC}}{S_{ΔABC}}$ 是否都为定值？如果是，分别求出这两个定值；如果不是，请说明理由．

（3）性质应用：如图（三 $)$ ，在正方形 $ABCD$ 中，点 $E$ 是 $CD$ 的中点，连接 $BE$ 交对角线 $AC$ 于点 $M$ ．

①若正方形 $ABCD$ 的边长为4，求 $EM$ 的长度；

②若 $S_{ΔCME} = 1$ ，求正方形 $ABCD$ 的面积．

习近平总书记说："读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气"．某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得第十届茅盾文学奖的《北上》（徐则臣著）和《牵风记》（徐怀中著）两种书共50本．已知购买2本《北上》和1本《牵风记》需100元；购买6本《北上》与购买7本《牵风记》的价格相同．

（1）求这两种书的单价；

（2）若购买《北上》的数量不少于所购买《牵风记》数量的一半，且购买两种书的总价不超过1600元．请问有哪几种购买方案？哪种购买方案的费用最低？最低费用为多少元？

如图，在平面直角坐标系中，点 $O$ 为坐标原点，菱形 $OABC$ 的顶点 $A$ 的坐标为 $(3, 4)$ ．

（1）求过点 $B$ 的反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的解析式；

（2）连接 $OB$ ，过点 $B$ 作 $BD ⊥ OB$ 交 $x$ 轴于点 $D$ ，求直线 $BD$ 的解析式．