如图，△ABC中，ABBCAC12cm，现有两点M、N分别从-优题课

如图，△ABC中，AB=BC=AC=12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．

（1）点M、N运动几秒后，M、N两点重合？
（2）点M、N运动几秒后，可得到等边三角形△AMN？
（3）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M、N运动的时间．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：三角形的五心

在平面直角坐标系中，直线 $y = x + 2$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $B$ ，抛物线 $y = a x^{2} + bx + c (a < 0)$ 经过点 $A$ 、 $B$ ．

（1）求 $a$ 、 $b$ 满足的关系式及 $c$ 的值．

（2）当 $x < 0$ 时，若 $y = a x^{2} + bx + c (a < 0)$ 的函数值随 $x$ 的增大而增大，求 $a$ 的取值范围．

（3）如图，当 $a = - 1$ 时，在抛物线上是否存在点 $P$ ，使 $ΔPAB$ 的面积为1？若存在，请求出符合条件的所有点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，在正方形 $ABCD$ 中， $E$ 是 $DC$ 边上一点，（与 $D$ 、 $C$ 不重合），连接 $AE$ ，将 $ΔADE$ 沿 $AE$ 所在的直线折叠得到 $ΔAFE$ ，延长 $EF$ 交 $BC$ 于 $G$ ，连接 $AG$ ，作 $GH ⊥ AG$ ，与 $AE$ 的延长线交于点 $H$ ，连接 $CH$ ．显然 $AE$ 是 $∠ DAF$ 的平分线， $EA$ 是 $∠ DEF$ 的平分线．仔细观察，请逐一找出图中其他的角平分线（仅限于小于 $180 °$ 的角平分线），并说明理由．

汛期到来，山洪暴发．下表记录了某水库 $20 h$ 内水位的变化情况，其中 $x$ 表示时间（单位： $h)$ ， $y$ 表示水位高度（单位： $m)$ ，当 $x = 8 (h)$ 时，达到警戒水位，开始开闸放水．

$x / h$	0	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20
$y / m$	14	15	16	17	18	14.4	12	10.3	9	8	7.2

（1）在给出的平面直角坐标系中，根据表格中的数据描出相应的点．

（2）请分别求出开闸放水前和放水后最符合表中数据的函数解析式．

（3）据估计，开闸放水后，水位的这种变化规律还会持续一段时间，预测何时水位达到 $6 m$ ．

如图， $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径， $C$ 是 $⊙ O$ 上一点，过点 $O$ 作 $OD ⊥ AB$ ，交 $BC$ 的延长线于 $D$ ，交 $AC$ 于点 $E$ ， $F$ 是 $DE$ 的中点，连接 $CF$ ．

（1）求证： $CF$ 是 $⊙ O$ 的切线．

（2）若 $∠ A = 22.5 °$ ，求证： $AC = DC$ ．

鲁南高铁临沂段修建过程中需要经过一座小山．如图，施工方计划沿 $AC$ 方向开挖隧道，为了加快施工速度，要在小山的另一侧 $D (A$ 、 $C$ 、 $D$ 共线）处同时施工．测得 $∠ CAB = 30 °$ ， $AB = 4 km$ ， $∠ ABD = 105 °$ ，求 $BD$ 的长．