某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投-优题课

某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．
（1）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
（3）如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，且每天的总成本不超过7000元，那么销售单价应控制在什么范围内？（每天的总成本=每件的成本×每天的销售量）

科目数学题型解答题难度较难

知识点：二次函数在给定区间上的最值

2016年3月27日“丽水半程马拉松竞赛”在莲都举行，某运动员从起点万地广场西门出发，途经紫金大桥，沿比赛路线跑回终点万地广场西门．设该运动员离开起点的路程 $S$ （千米）与跑步时间 $t$ （分钟）之间的函数关系如图所示，其中从起点到紫金大桥的平均速度是0.3千米 $/$ 分，用时35分钟，根据图象提供的信息，解答下列问题：

（1）求图中 $a$ 的值；

（2）组委会在距离起点2.1千米处设立一个拍摄点 $C$ ，该运动员从第一次经过 $C$ 点到第二次经过 $C$ 点所用的时间为68分钟．

①求 $AB$ 所在直线的函数解析式；

②该运动员跑完赛程用时多少分钟？

为了帮助九年级学生做好体育考试项目的选考工作，某校统计了本县上届九年级毕业生体育考试各个项目参加的男、女生人数及平均成绩，并绘制成如图两个统计图，请结合统计图信息解决问题．

（1）“掷实心球”项目男、女生总人数是“跳绳”项目男、女生总人数的2倍，求“跳绳”项目的女生人数；

（2）若一个考试项目的男、女生总平均成绩不小于9分为“优秀”，试判断该县上届毕业生的考试项目中达到“优秀”的有哪些项目，并说明理由；

（3）请结合统计图信息和实际情况，给该校九年级学生体育考试项目的选择提出合理化建议．

数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现：一副三角板中，含 $45 °$ 的三角板的斜边与含 $30 °$ 的三角板的长直角边相等，于是，小陆同学提出一个问题：如图，将一副三角板直角顶点重合拼放在一起，点 $B$ ， $C$ ， $E$ 在同一直线上，若 $BC = 2$ ，求 $AF$ 的长．

请你运用所学的数学知识解决这个问题．

在平面直角坐标系中，点 $O$ 为原点，点 $A$ 的坐标为 $(- 6, 0)$ ．如图1，正方形 $OBCD$ 的顶点 $B$ 在 $x$ 轴的负半轴上，点 $C$ 在第二象限．现将正方形 $OBCD$ 绕点 $O$ 顺时针旋转角 $α$ 得到正方形 $OEFG$ ．

（1）如图2，若 $α = 60 °$ ， $OE = OA$ ，求直线 $EF$ 的函数表达式．

（2）若 $α$ 为锐角， $\tan α = \frac{1}{2}$ ，当 $AE$ 取得最小值时，求正方形 $OEFG$ 的面积．

（3）当正方形 $OEFG$ 的顶点 $F$ 落在 $y$ 轴上时，直线 $AE$ 与直线 $FG$ 相交于点 $P$ ， $ΔOEP$ 的其中两边之比能否为 $\sqrt{2} : 1$ ？若能，求点 $P$ 的坐标；若不能，试说明理由

在平面直角坐标系中，点 $O$ 为原点，平行于 $x$ 轴的直线与抛物线 $L : y = a x^{2}$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点（点 $B$ 在第一象限），点 $D$ 在 $AB$ 的延长线上．

（1）已知 $a = 1$ ，点 $B$ 的纵坐标为2．

①如图1，向右平移抛物线 $L$ 使该抛物线过点 $B$ ，与 $AB$ 的延长线交于点 $C$ ，求 $AC$ 的长．

②如图2，若 $BD = \frac{1}{2} AB$ ，过点 $B$ ， $D$ 的抛物线 $L_{2}$ ，其顶点 $M$ 在 $x$ 轴上，求该抛物线的函数表达式．

（2）如图3，若 $BD = AB$ ，过 $O$ ， $B$ ， $D$ 三点的抛物线 $L_{3}$ ，顶点为 $P$ ，对应函数的二次项系数为 $a_{3}$ ，过点 $P$ 作 $PE / / x$ 轴，交抛物线 $L$ 于 $E$ ， $F$ 两点，求 $\frac{a_{3}}{a}$ 的值，并直接写出 $\frac{AB}{EF}$ 的值．