计算：-优题课

已知抛物线 $y = a x^{2} + bx + c$ ，其中 $2 a = b > 0 > c$ ，且 $a + b + c = 0$ ．

（1）直接写出关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + bx + c = 0$ 的一个根；

（2）证明：抛物线 $y = a x^{2} + bx + c$ 的顶点 $A$ 在第三象限；

（3）直线 $y = x + m$ 与 $x$ ， $y$ 轴分别相交于 $B$ ， $C$ 两点，与抛物线 $y = a x^{2} + bx + c$ 相交于 $A$ ， $D$ 两点．设抛物线 $y = a x^{2} + bx + c$ 的对称轴与 $x$ 轴相交于 $E$ ．如果在对称轴左侧的抛物线上存在点 $F$ ，使得 $ΔADF$ 与 $ΔBOC$ 相似，并且 $S_{ΔADF} = \frac{1}{2} S_{ΔADE}$ ，求此时抛物线的表达式．

某市总预算 $a$ 亿元用三年时间建成一条轨道交通线．轨道交通线由线路敷设、搬迁安置、辅助配套三项工程组成．从2015年开始，市政府在每年年初分别对三项工程进行不同数额的投资．

2015年年初，对线路敷设、搬迁安置的投资分别是辅助配套投资的2倍、4倍．随后两年，线路敷设投资每年都增加 $b$ 亿元，预计线路敷设三年总投资为54亿元时会顺利如期完工；搬迁安置投资从2016年年初开始逐年按同一百分数递减，依此规律，在2017年年初只需投资5亿元，即可顺利如期完工；辅助配套工程在2016年年初的投资在前一年基础上的增长率是线路敷设2016年投资增长率的1.5倍，2017年年初的投资比该项工程前两年投资的总和还多4亿元，若这样，辅助配套工程也可以如期完工．经测算，这三年的线路敷设、辅助配套工程的总投资资金之比达到 $3 : 2$ ．

（1）这三年用于辅助配套的投资将达到多少亿元？

（2）市政府2015年年初对三项工程的总投资是多少亿元？

（3）求搬迁安置投资逐年递减的百分数．

阅读：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数 $a$ ， $b$ ， $c$ ，称为勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为： $\{\begin{matrix} a = \frac{1}{2} (m^{2} - n^{2}) \\ b = mn \\ c = \frac{1}{2} (m^{2} + n^{2}) . \end{matrix}$ 其中 $m > n > 0$ ， $m$ ， $n$ 是互质的奇数．

应用：当 $n = 1$ 时，求有一边长为5的直角三角形的另外两条边长．

“和谐号”火车从车站出发，在行驶过程中速度 $y$ （单位： $m / s)$ 与时间 $x$ （单位： $s)$ 的关系如图所示，其中线段 $BC / / x$ 轴．

请根据图象提供的信息解答下列问题：

（1）当 $0 ⩽ x ⩽ 10$ ，求 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式；

（2）求 $C$ 点的坐标．

$YC$ 市首批一次性投放公共自行车700辆供市民租用出行，由于投入数量不够，导致出现需要租用却未租到车的现象，现将随机抽取的某五天在同一时段的调查数据汇成如下表格．

请回答下列问题：

时间	第一天 $7 : 00 - 8 : 00$	第二天 $7 : 00 - 8 : 00$	第三天 $7 : 00 - 8 : 00$	第四天 $7 : 00 - 8 : 00$	第五天 $7 : 00 - 8 : 00$
需要租用自行车却未租到车的人数（人 $)$	1500	1200	1300	1300	1200

（1）表格中的五个数据（人数）的中位数是多少？

（2）由随机抽样估计，平均每天在 $7 : 00 - 8 : 00$ 需要租用公共自行车的人数是多少？