(6分)已知：如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，-优题课

数学课上，有这样一道探究题．

如图，已知 $ΔABC$ 中， $AB = AC = m$ ， $BC = n$ ， $∠ BAC = α (0 ° < α < 180 °)$ ，点 $P$ 为平面内不与点 $A$ 、 $C$ 重合的任意一点，连接 $CP$ ，将线段 $CP$ 绕点 $P$ 顺时针旋转 $a$ ，得线段 $PD$ ，连接 $CD$ 、 $AP$ 点 $E$ 、 $F$ 分别为 $BC$ 、 $CD$ 的中点，设直线 $AP$ 与直线 $EF$ 相交所成的较小角为 $β$ ，探究 $\frac{EF}{AP}$ 的值和 $β$ 的度数与 $m$ 、 $n$ 、 $a$ 的关系．

请你参与学习小组的探究过程，并完成以下任务：

（1）填空：

【问题发现】

小明研究了 $α = 60 °$ 时，如图1，求出了 $\frac{EF}{PA}$ 的值和 $β$ 的度数分别为 $\frac{EF}{PA} =$ 　　， $β =$ 　　；

小红研究了 $α = 90 °$ 时，如图2，求出了 $\frac{EF}{PA}$ 的值和 $β$ 的度数分别为 $\frac{EF}{PA} =$ 　　， $β =$ 　　；

【类比探究】

他们又共同研究了 $α = 120 °$ 时，如图3，也求出了 $\frac{EF}{PA}$ 的值和 $β$ 的度数；

【归纳总结】

最后他们终于共同探究得出规律： $\frac{EF}{PA} =$ 　　（用含 $m$ 、 $n$ 的式子表示）； $β =$ 　　（用含 $α$ 的式子表示）．

（2）求出 $α = 120 °$ 时 $\frac{EF}{PA}$ 的值和 $β$ 的度数．

如图，抛物线 $y = - x^{2} + bx + c$ 与 $x$ 轴交于 $(- 3, 0)$ 、 $B (1, 0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，对称轴 $l$ 与 $x$ 轴交于点 $F$ ，直线 $m / / AC$ ，点 $E$ 是直线 $AC$ 上方抛物线上一动点，过点 $E$ 作 $EH ⊥ m$ ，垂足为 $H$ ，交 $AC$ 于点 $G$ ，连接 $AE$ 、 $EC$ 、 $CH$ 、 $AH$ ．

（1）抛物线的解析式为　　；

（2）当四边形 $AHCE$ 面积最大时，求点 $E$ 的坐标；

（3）在（2）的条件下，连接 $EF$ ，点 $P$ 是 $x$ 轴上一动点，在抛物线上是否存在点 $Q$ ，使得以 $F$ 、 $E$ 、 $P$ 、 $Q$ 为顶点，以 $EF$ 为一边的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点 $Q$ 的坐标；若不存在，说明理由．

如图，在菱形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$ 、 $BD$ 相交于点 $M$ ， $⊙ O$ 经过点 $B$ ， $C$ ，交对角线 $BD$ 于点 $E$ ，且 $\hat{CE} = \hat{BE}$ ，连接 $OE$ 交 $BC$ 于点 $F$ ．

（1）试判断 $AB$ 与 $⊙ O$ 的位置关系，并说明理由；

（2）若 $BD = \frac{32}{5} \sqrt{5}$ ， $\tan ∠ CBD = \frac{1}{2}$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

阅读理解：

在平面直角坐标系中，点 $M$ 的坐标为 $(x_{1}$ ， $y_{1})$ ，点 $N$ 的坐标为 $(x_{2}$ ， $y_{2})$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ， $y_{1} \neq y_{2}$ ，若 $M$ 、 $N$ 为某矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为 $M$ 、 $N$ 的"相关矩形"．如图1中的矩形为点 $M$ 、 $N$ 的"相关矩形"．

（1）已知点 $A$ 的坐标为 $(2, 0)$ ．

①若点 $B$ 的坐标为 $(4, 4)$ ，则点 $A$ 、 $B$ 的"相关矩形"的周长为　　；

②若点 $C$ 在直线 $x = 4$ 上，且点 $A$ 、 $C$ 的"相关矩形"为正方形，求直线 $AC$ 的解析式；

（2）已知点 $P$ 的坐标为 $(3, - 4)$ ，点 $Q$ 的坐标为 $(6, - 2)$ 若使函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象与点 $P$ 、 $Q$ 的"相关矩形"有两个公共点，直接写出 $k$ 的取值．

为传承优秀传统文化，某地青少年活动中心计划分批次购进四大名著：《西游记》、《水浒传》、《三国演义》、《红楼梦》．第一次购进《西游记》50本，《水浒传》60本，共花费6600元；第二次购进《西游记》40本，《水浒传》30本，共花费4200元．

（1）求《西游记》和《水浒传》每本的售价分别是多少元；

（2）青少年活动中心决定再购买上述四种图书，总费用不超过32000元．如果《西游记》比《三国演义》每本售价多10元，《水浒传》比《红楼梦》每本售价少10元，要使先后购进的四大名著刚好配套（四大名著各一本为一套），那么这次最多购买《西游记》多少本？