在△ABC中，AD是高，矩形PQMN的顶点P、N分别在AB、-优题课

题文

在△ABC中，AD是高，矩形PQMN的顶点P、N分别在AB、AC上，QM在边BC上．若BC=8cm，AD=6cm，且PN=2PQ，求矩形PQMN的周长．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：圆内接四边形的性质

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相关试题

下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．

三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 $180 °$ ．

已知：如图，△ABC，求证： $∠ A + ∠ B + ∠ C ＝ 180 °$ ．

方法一

证明：如图，过点A作 $D E ∥ B C$ ．

方法二

证明：如图，过点C作 $C D ∥ A B$ ．

已知 $x^{2} + 2 x ﹣ 2 ＝ 0$ ，求代数式 $x （ x + 2 ） + （ x + 1 ）^{2}$ 的值．

如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩形的一边BC为12米，另一边AB为2米．以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系 $x O y$ ，规定一个单位长度代表1米．E $（ 0 ， 8 ）$ 是抛物线的顶点．

（1）求此抛物线对应的函数表达式；

（2）在隧道截面内（含边界）修建“”型或“”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点 $P_{1} ， P_{4}$ 在x轴上，MN与矩形 $P_{1} P_{2} P_{3} P_{4}$ 的一边平行且相等．栅栏总长l为图中粗线段 $P_{1} P_{2} ， P_{2} P_{3} ， P_{3} P_{4} ，$ MN长度之和，请解决以下问题：

（ⅰ）修建一个“”型栅栏，如图2，点 $P_{2} ， P_{3}$ 在抛物线AED上．设点P₁的横坐标为 $m （ 0 ＜ m \leq 6 ）$ ，求栅栏总长l与m之间的函数表达式和l的最大值；

（ⅱ）现修建一个总长为18的栅栏，有如图3所示的“”型和“”型两种设计方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形 $P_{1} P_{2} P_{3} P_{4}$ 面积的最大值，及取最大值时点P₁的横坐标的取值范围（P₁在P₄右侧）．

已知四边形ABCD中， $B C ＝ C D$ ，连接BD，过点C作BD的垂线交AB于点E，连接DE．

（1）如图1，若 $D E ∥ B C$ ，求证：四边形BCDE是菱形；

（2）如图2，连接AC，设BD，AC相交于点F，DE垂直平分线段AC．

（ⅰ）求∠CED的大小；

（ⅱ）若 $A F ＝ A E$ ，求证： $B E ＝ C F$ ．

第24届冬奥会于2022年2月20日在北京胜利闭幕．某校七、八年级各有 $500$ 名学生，为了解这两个年级学生对本次冬奥会的关注程度，现从这两个年级各随机抽取 $n$ 名学生进行冬奥会知识测试，将测试成绩按以下六组进行整理（得分用 $x$ 表示）：

A： $70 \leq x ＜ 75$ ，B： $75 \leq x ＜ 80$ ，C： $80 \leq x ＜ 85$ ，

D： $85 \leq x ＜ 90$ ，E： $90 \leq x ＜ 95$ ，F： $95 \leq x \leq 100$ ，

并绘制七年级测试成绩频数分布直方图和八年级测试成绩扇形统计图，部分信息如下：

已知八年级测试成绩D组的全部数据如下：

$86 ， 85 ， 87 ， 86 ， 85 ， 89 ， 88$ ．

请根据以上信息，完成下列问题：

（1） $n$ ＝＿＿＿＿， $a$ ＝＿＿＿＿；

（2）八年级测试成绩的中位数是＿＿＿＿；

（3）若测试成绩不低于 $90$ 分，则认定该学生对冬奥会关注程度高．请估计该校七、八两个年级对冬奥会关注程度高的学生一共有多少人，并说明理由．

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