三个队植树，第一队种a棵，第二队种的比第一队种的树的2倍还少-优题课

在平面直角坐标系中，我们定义直线 $y = ax - a$ 为抛物线 $y = a x^{2} + bx + c (a$ 、 $b$ 、 $c$ 为常数， $a \neq 0)$ 的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在 $y$ 轴上的三角形为其“梦想三角形”．

已知抛物线 $y = - \frac{2 \sqrt{3}}{3} x^{2} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} x + 2 \sqrt{3}$ 与其“梦想直线”交于 $A$ 、 $B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），与 $x$ 轴负半轴交于点 $C$ ．

（1）填空：该抛物线的“梦想直线”的解析式为　　，点 $A$ 的坐标为　　，点 $B$ 的坐标为　　；

（2）如图，点 $M$ 为线段 $CB$ 上一动点，将 $ΔACM$ 以 $AM$ 所在直线为对称轴翻折，点 $C$ 的对称点为 $N$ ，若 $ΔAMN$ 为该抛物线的“梦想三角形”，求点 $N$ 的坐标；

（3）当点 $E$ 在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点 $F$ ，使得以点 $A$ 、 $C$ 、 $E$ 、 $F$ 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点 $E$ 、 $F$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

某校为组织代表队参加市“拜炎帝、诵经典”吟诵大赛，初赛后对选手成绩进行了整理，分成5个小组 $(x$ 表示成绩，单位：分）， $A$ 组： $75 ⩽ x < 80$ ； $B$ 组： $80 ⩽ x < 85$ ； $C$ 组： $85 ⩽ x < 90$ ； $D$ 组： $90 ⩽ x < 95$ ； $E$ 组： $95 ⩽ x < 100$ ．并绘制出如图两幅不完整的统计图．

请根据图中信息，解答下列问题：

（1）参加初赛的选手共有　　名，请补全频数分布直方图；

（2）扇形统计图中， $C$ 组对应的圆心角是多少度？ $E$ 组人数占参赛选手的百分比是多少？

（3）学校准备组成8人的代表队参加市级决赛， $E$ 组6名选手直接进入代表队，现要从 $D$ 组中的两名男生和两名女生中，随机选取两名选手进入代表队，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中一名男生和一名女生的概率．

如图，在平面直角坐标系中，将坐标原点 $O$ 沿 $x$ 轴向左平移2个单位长度得到点 $A$ ，过点 $A$ 作 $y$ 轴的平行线交反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象于点 $B$ ， $AB = \frac{3}{2}$ ．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）若 $P (x_{1}$ ， $y_{1})$ 、 $Q (x_{2}$ ， $y_{2})$ 是该反比例函数图象上的两点，且 $x_{1} < x_{2}$ 时， $y_{1} > y_{2}$ ，指出点 $P$ 、 $Q$ 各位于哪个象限？并简要说明理由．

如图，抛物线 $y = a x^{2} + bx + c (a \neq 0)$ 的图象经过 $A (1, 0)$ ， $B (3, 0)$ ， $C (0, 6)$ 三点．

（1）求抛物线的解析式．

（2）抛物线的顶点 $M$ 与对称轴 $l$ 上的点 $N$ 关于 $x$ 轴对称，直线 $AN$ 交抛物线于点 $D$ ，直线 $BE$ 交 $AD$ 于点 $E$ ，若直线 $BE$ 将 $ΔABD$ 的面积分为 $1 : 2$ 两部分，求点 $E$ 的坐标．

（3） $P$ 为抛物线上的一动点， $Q$ 为对称轴上动点，抛物线上是否存在一点 $P$ ，使 $A$ 、 $D$ 、 $P$ 、 $Q$ 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，在 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ ACB = 90 °$ ， $D$ 为 $AB$ 边上的一点，以 $AD$ 为直径的 $⊙ O$ 交 $BC$ 于点 $E$ ，交 $AC$ 于点 $F$ ，过点 $C$ 作 $CG ⊥ AB$ 交 $AB$ 于点 $G$ ，交 $AE$ 于点 $H$ ，过点 $E$ 的弦 $EP$ 交 $AB$ 于点 $Q (EP$ 不是直径），点 $Q$ 为弦 $EP$ 的中点，连结 $BP$ ， $BP$ 恰好为 $⊙ O$ 的切线．

（1）求证： $BC$ 是 $⊙ O$ 的切线．

（2）求证： $\hat{EF} = \hat{ED}$ ．

（3）若 $\sin ∠ ABC = = \frac{3}{5}$ ， $AC = 15$ ，求四边形 $CHQE$ 的面积．