在平面直角坐标系中的位置如图所示（点与原点重合，点在轴正半轴-优题课

以菱形 $ABCD$ 的对角线交点 $O$ 为坐标原点， $AC$ 所在的直线为 $x$ 轴，已知 $A (- 4, 0)$ ， $B (0, - 2)$ ， $M (0, 4)$ ， $P$ 为折线 $BCD$ 上一动点，作 $PE ⊥ y$ 轴于点 $E$ ，设点 $P$ 的纵坐标为 $a$ ．

（1）求 $BC$ 边所在直线的解析式；

（2）设 $y = M P^{2} + O P^{2}$ ，求 $y$ 关于 $a$ 的函数关系式；

（3）当 $ΔOPM$ 为直角三角形时，求点 $P$ 的坐标．

已知 $ΔABC$ 的内切圆 $⊙ O$ 与 $AB$ 、 $BC$ 、 $AC$ 分别相切于点 $D$ 、 $E$ 、 $F$ ，若 $\hat{EF} = \hat{DE}$ ，如图1．

（1）判断 $ΔABC$ 的形状，并证明你的结论；

（2）设 $AE$ 与 $DF$ 相交于点 $M$ ，如图2， $AF = 2 FC = 4$ ，求 $AM$ 的长．

某校九年级10个班师生举行毕业文艺汇演，每班2个节目，有歌唱与舞蹈两类节目，年级统计后发现唱歌类节目数比舞蹈类节目数的2倍少4个．

（1）九年级师生表演的歌唱与舞蹈类节目数各有多少个？

（2）该校七、八年级师生有小品节目参与，在歌唱、舞蹈、小品三类节目中，每个节目的演出平均用时分别是5分钟、6分钟、8分钟，预计所有演出节目交接用时共花15分钟．若从 $20 : 00$ 开始， $22 : 30$ 之前演出结束，问参与的小品类节目最多能有多少个？

甲、乙两运动员的射击成绩（靶心为10环）统计如下表（不完全） $:$

运动员

环数

次数

1

2

3

4

5

甲

10

8

9

10

8

乙

10

9

$a$

$b$

某同学计算出了甲的成绩平均数是9，方差是

$S_{甲}^{2} = \frac{1}{5} [{(10 - 9)}^{2} + {(8 - 9)}^{2} + {(9 - 9)}^{2} + {(10 - 9)}^{2} + (8 - 9)^{2}] = 0.8$ ，请作答：

（1）在图中用折线统计图将甲运动员的成绩表示出来；

（2）若甲、乙射击成绩平均数都一样，则 $a + b =$ 　　；

（3）在（2）的条件下，当甲比乙的成绩较稳定时，请列举出 $a$ 、 $b$ 的所有可能取值，并说明理由．

矩形 $ABCD$ 中， $E$ 、 $F$ 分别是 $AD$ 、 $BC$ 的中点， $CE$ 、 $AF$ 分别交 $BD$ 于 $G$ 、 $H$ 两点．

求证：（1）四边形 $AFCE$ 是平行四边形；

（2） $EG = FH$ ．