如图，点D是△ABC的边AC上的一点，AB2＝AC·AD．求-优题课

如图，在 $▱ A B C D$ 中， $∠ D A B ＝ 30 °$ ．

（1）实践与操作：用尺规作图法过点 $D$ 作 $A B$ 边上的高 $D E$ ；（保留作图痕迹，不要求写作法）

（2）应用与计算：在（1）的条件下， $A D ＝ 4 ， A B ＝ 6$ ，求 $B E$ 的长．

2023年5月30日，神舟十六号载人飞船发射取得圆满成功，3名航天员顺利进驻中国空间站．如图中的照片展示了中国空间站上机械臂的一种工作状态．当两臂 $A C ＝ B C ＝ 10 m$ ，两臂夹角 $∠ A C B ＝ 100 °$ 时，求 $A ， B$ 两点间的距离．（结果精确到 $0.1 m$ ，参考数据： $\sin 50 ° \approx 0.766 ， \cos 50 ° \approx 0.643 ， \tan 50 ° \approx 1.192$ ）

某学校开展了社会实践活动，活动地点距离学校 $12 k m$ ，甲、乙两同学骑自行车同时从学校出发，甲的速度是乙的 $1.2$ 倍，结果甲比乙早到 $10 m i n$ ，求乙同学骑自行车的速度．

（1）计算： $\sqrt[3]{8} + | ﹣ 5 | + （ ﹣ 1 ）^{2023}$ ．

（2）已知一次函数 $y ＝ k x + b$ 的图象经过点 $（ 0 ， 1 ）$ 与点 $（ 2 ， 5 ）$ ，求该一次函数的表达式．

如图，在锐角△ABC中， $∠ A ＝ 60 °$ ，点D，E分别是边AB，AC上一动点，连接BE交直线CD于点F．

（1）如图1，若 $A B ＞ A C$ ，且 $B D ＝ C E$ ， $∠ B C D ＝ ∠ C B E$ ，求 $∠ C F E$ 的度数；

（2）如图2，若 $A B ＝ A C$ ，且 $B D ＝ A E$ ，在平面内将线段AC绕点C顺时针方向旋转60°得到线段CM，连接MF，点N是MF的中点，连接CN．在点D，E运动过程中，猜想线段BF，CF，CN之间存在的数量关系，并证明你的猜想；

（3）若 $A B ＝ A C$ ，且 $B D ＝ A E$ ，将 $△ A B C$ 沿直线AB翻折至 $△ A B C$ 所在平面内得到 $△ A B P$ ，点H是AP的中点，点K是线段PF上一点，将 $△ P H K$ 沿直线HK翻折至 $△ P H K$ 所在平面内得到 $△ Q H K$ ，连接PQ．在点D，E运动过程中，当线段PF取得最小值，且 $Q K ⊥ P F$ 时，请直接写出 $\frac{PQ}{BC}$ 的值．