已知反比例函数（k为常数，k≠1）．（1）其图象与正比例函数-优题课

已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 4 x - 2 m + 5 = 0$ 有两个不相等的实数根．

（1）求实数 $m$ 的取值范围；

（2）若该方程的两个根都是符号相同的整数，求整数 $m$ 的值．

为庆祝中国共产党成立100周年，某校举行党史知识竞赛活动，赛后随机抽取了部分学生的成绩，按得分划分为 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 四个等级，并绘制了如下不完整的统计表和统计图．

等级	成绩 $(x)$	人数
$A$	$90 ⩽ x ⩽ 100$	15
$B$	$80 ⩽ x < 90$	$a$
$C$	$70 ⩽ x < 80$	18
$D$	$x < 70$	7

根据图表信息，回答下列问题：

（1）表中 $a =$ 　　；扇形统计图中， $C$ 等级所占的百分比是　　； $D$ 等级对应的扇形圆心角为　　度；若全校共有1800名学生参加了此次知识竞赛活动，请估计成绩为 $A$ 等级的学生共有　　人；

（2）若95分以上的学生有4人，其中甲、乙两人来自同一班级，学校将从这4人中随机选出两人参加市级比赛，请用列表或树状图法求甲、乙两人至少有1人被选中的概率．

如图，抛物线 $y = a x^{2} + bx + c$ 交 $x$ 轴于 $A (- 1, 0)$ ， $B (3, 0)$ 两点，交 $y$ 轴于点 $C (0, - 3)$ ，点 $Q$ 为线段 $BC$ 上的动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求 $| QO | + | QA |$ 的最小值；

（3）过点 $Q$ 作 $PQ / / AC$ 交抛物线的第四象限部分于点 $P$ ，连接 $PA$ ， $PB$ ，记 $ΔPAQ$ 与 $ΔPBQ$ 面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ，设 $S = S_{1} + S_{2}$ ，求点 $P$ 坐标，使得 $S$ 最大，并求此最大值．

某公司电商平台，在2021年五一长假期间，举行了商品打折促销活动，经市场调查发现，某种商品的周销售量 $y$ （件 $)$ 是关于售价 $x$ （元 $/$ 件）的一次函数，如表仅列出了该商品的售价 $x$ ，周销售量 $y$ ，周销售利润 $W$ （元 $)$ 的三组对应值数据．

$x$	40	70	90
$y$	180	90	30
$W$	3600	4500	2100

（1）求 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；

（2）若该商品进价 $a$ （元 $/$ 件），售价 $x$ 为多少时，周销售利润 $W$ 最大？并求出此时的最大利润；

（3）因疫情期间，该商品进价提高了 $m$ （元 $/$ 件） $(m > 0)$ ，公司为回馈消费者，规定该商品售价 $x$ 不得超过55（元 $/$ 件），且该商品在今后的销售中，周销售量与售价仍满足（1）中的函数关系，若周销售最大利润是4050元，求 $m$ 的值．

如图，在 $ΔABC$ 中， $∠ BAC = 90 °$ ，点 $E$ 在 $BC$ 边上，过 $A$ ， $C$ ， $E$ 三点的 $⊙ O$ 交 $AB$ 边于另一点 $F$ ，且 $F$ 是 $\hat{AE}$ 的中点， $AD$ 是 $⊙ O$ 的一条直径，连接 $DE$ 并延长交 $AB$ 边于 $M$ 点．

（1）求证：四边形 $CDMF$ 为平行四边形；

（2）当 $CD = \frac{2}{5} AB$ 时，求 $\sin ∠ ACF$ 的值．