如果一个正数的一个平方根是4，那么它的另一个平方根是多少？-优题课

如图，直线 $y = 2 x + 4$ 与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象相交于 $A (- 3, a)$ 和 $B$ 两点

（1）求 $k$ 的值；

（2）直线 $y = m (m > 0)$ 与直线 $AB$ 相交于点 $M$ ，与反比例函数的图象相交于点 $N$ ．若 $MN = 4$ ，求 $m$ 的值；

（3）直接写出不等式 $\frac{6}{x - 5} > x$ 的解集．

解方程： $4 x - 3 = 2 (x - 1)$

如图，在平面直角坐标系中，四边形 $ABCD$ 的边 $AD$ 在 $x$ 轴上，点 $C$ 在 $y$ 轴的负半轴上，直线 $BC / / AD$ ，且 $BC = 3$ ， $OD = 2$ ，将经过 $A$ 、 $B$ 两点的直线 $l : y = - 2 x - 10$ 向右平移，平移后的直线与 $x$ 轴交于点 $E$ ，与直线 $BC$ 交于点 $F$ ，设 $AE$ 的长为 $t (t ⩾ 0)$ ．

（1）四边形 $ABCD$ 的面积为　　；

（2）设四边形 $ABCD$ 被直线 $l$ 扫过的面积（阴影部分）为 $S$ ，请直接写出 $S$ 关于 $t$ 的函数解析式；

（3）当 $t = 2$ 时，直线 $EF$ 上有一动点 $P$ ，作 $PM ⊥$ 直线 $BC$ 于点 $M$ ，交 $x$ 轴于点 $N$ ，将 $ΔPMF$ 沿直线 $EF$ 折叠得到 $ΔPTF$ ，探究：是否存在点 $P$ ，使点 $T$ 恰好落在坐标轴上？若存在，请求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

在 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ ACB = 90 °$ ，点 $D$ 与点 $B$ 在 $AC$ 同侧， $∠ DAC > ∠ BAC$ ，且 $DA = DC$ ，过点 $B$ 作 $BE / / DA$ 交 $DC$ 于点 $E$ ， $M$ 为 $AB$ 的中点，连接 $MD$ ， $ME$ ．

（1）如图1，当 $∠ ADC = 90 °$ 时，线段 $MD$ 与 $ME$ 的数量关系是　　；

（2）如图2，当 $∠ ADC = 60 °$ 时，试探究线段 $MD$ 与 $ME$ 的数量关系，并证明你的结论；

（3）如图3，当 $∠ ADC = α$ 时，求 $\frac{ME}{MD}$ 的值．

已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - (m + 1) x + \frac{1}{2} (m^{2} + 1) = 0$ 有实数根．

（1）求 $m$ 的值；

（2）先作 $y = x^{2} - (m + 1) x + \frac{1}{2} (m^{2} + 1)$ 的图象关于 $x$ 轴的对称图形，然后将所作图形向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，写出变化后图象的解析式；

（3）在（2）的条件下，当直线 $y = 2 x + n (n ⩾ m)$ 与变化后的图象有公共点时，求 $n^{2} - 4 n$ 的最大值和最小值．