如图，在Rt△ABC中，∠C90°，AC4cm，BC3cm．-优题课

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．动点M，N从点C同时出发，均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A，B移动，同时动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动，连接PM，PN，设移动时间为t（单位：秒，0＜t＜2．5）．

（1）当t为何值时，以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？
（2）是否存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，请说明理由．

科目数学题型解答题难度较难

知识点：相似多边形的性质

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2} + bx + c$ 与坐标轴交于 $A (0, - 2)$ ， $B (4, 0)$ 两点，直线 $BC : y = - 2 x + 8$ 交 $y$ 轴于点 $C$ ．点 $D$ 为直线 $AB$ 下方抛物线上一动点，过点 $D$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为 $G$ ， $DG$ 分别交直线 $BC$ ， $AB$ 于点 $E$ ， $F$ ．

（1）求抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2} + bx + c$ 的表达式；

（2）当 $GF = \frac{1}{2}$ 时，连接 $BD$ ，求 $ΔBDF$ 的面积；

（3）① $H$ 是 $y$ 轴上一点，当四边形 $BEHF$ 是矩形时，求点 $H$ 的坐标；

②在①的条件下，第一象限有一动点 $P$ ，满足 $PH = PC + 2$ ，求 $ΔPHB$ 周长的最小值．

问题解决：如图1，在矩形 $ABCD$ 中，点 $E$ ， $F$ 分别在 $AB$ ， $BC$ 边上， $DE = AF$ ， $DE ⊥ AF$ 于点 $G$ ．

（1）求证：四边形 $ABCD$ 是正方形；

（2）延长 $CB$ 到点 $H$ ，使得 $BH = AE$ ，判断 $ΔAHF$ 的形状，并说明理由．

类比迁移：如图2，在菱形 $ABCD$ 中，点 $E$ ， $F$ 分别在 $AB$ ， $BC$ 边上， $DE$ 与 $AF$ 相交于点 $G$ ， $DE = AF$ ， $∠ AED = 60 °$ ， $AE = 6$ ， $BF = 2$ ，求 $DE$ 的长．

如图， $ΔABC$ 内接于 $⊙ O$ ， $D$ 是 $⊙ O$ 的直径 $AB$ 的延长线上一点， $∠ DCB = ∠ OAC$ ．过圆心 $O$ 作 $BC$ 的平行线交 $DC$ 的延长线于点 $E$ ．

（1）求证： $CD$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $CD = 4$ ， $CE = 6$ ，求 $⊙ O$ 的半径及 $\tan ∠ OCB$ 的值．

如图1，小刚家、学校、图书馆在同一条直线上，小刚骑自行车匀速从学校到图书馆，到达图书馆还完书后，再以相同的速度原路返回家中（上、下车时间忽略不计）．小刚离家的距离 $y (m)$ 与他所用的时间 $x (\min)$ 的函数关系如图2所示．

（1）小刚家与学校的距离为　　 $m$ ，小刚骑自行车的速度为　　 $m / \min$ ；

（2）求小刚从图书馆返回家的过程中， $y$ 与 $x$ 的函数表达式；

（3）小刚出发35分钟时，他离家有多远？

为庆祝中国共产党建党100周年，某校开展了以"学习百年党史，汇聚团结伟力"为主题的知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分成 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ ， $E$ 五个等级，并绘制了如下不完整的统计图．请结合统计图，解答下列问题：

等级	成绩 $x$
$A$	$50 ⩽ x < 60$
$B$	$60 ⩽ x < 70$
$C$	$70 ⩽ x < 80$
$D$	$80 ⩽ x < 90$
$E$	$90 ⩽ x ⩽ 100$

（1）本次调查一共随机抽取了　　名学生的成绩，频数分布直方图中 $m =$ 　　；

（2）补全学生成绩频数分布直方图；

（3）所抽取学生成绩的中位数落在　　等级；

（4）若成绩在80分及以上为优秀，全校共有2000名学生，估计成绩优秀的学生有多少人？