（本题每小题6分，满分12分）（1）、计算：.（2）先化简再-优题课

某校研究学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网等四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好，并将调查结果绘制成下面两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：

（1）在这次调查中，一共调查了　　名学生；

（2）补全条形统计图；

（3）若该校共有1500名学生，估计爱好运动的学生有　　人；

（4）在全校同学中随机选取一名学生参加演讲比赛，用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生的概率是　　．

已知：如图，抛物线 $y = a x^{2} + bx + c$ 与坐标轴分别交于点 $A (0, 6)$ ， $B (6, 0)$ ， $C (- 2, 0)$ ，点 $P$ 是线段 $AB$ 上方抛物线上的一个动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点 $P$ 运动到什么位置时， $ΔPAB$ 的面积有最大值？

（3）过点 $P$ 作 $x$ 轴的垂线，交线段 $AB$ 于点 $D$ ，再过点 $P$ 做 $PE / / x$ 轴交抛物线于点 $E$ ，连接 $DE$ ，请问是否存在点 $P$ 使 $ΔPDE$ 为等腰直角三角形？若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，说明理由．

已知：如图，在 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ ACB = 90 °$ ，点 $M$ 是斜边 $AB$ 的中点， $MD / / BC$ ，且 $MD = CM$ ， $DE ⊥ AB$ 于点 $E$ ，连接 $AD$ 、 $CD$ ．

（1）求证： $ΔMED ∽ ΔBCA$ ；

（2）求证： $ΔAMD ≅ ΔCMD$ ；

（3）设 $ΔMDE$ 的面积为 $S_{1}$ ，四边形 $BCMD$ 的面积为 $S_{2}$ ，当 $S_{2} = \frac{17}{5} S_{1}$ 时，求 $\cos ∠ ABC$ 的值．

如图是小红在一次放风筝活动中某时段的示意图，她在 $A$ 处时的风筝线（整个过程中风筝线近似地看作直线）与水平线构成 $30 °$ 角，线段 $A A_{1}$ 表示小红身高1.5米．

（1）当风筝的水平距离 $AC = 18$ 米时，求此时风筝线 $AD$ 的长度；

（2）当她从点 $A$ 跑动 $9 \sqrt{2}$ 米到达点 $B$ 处时，风筝线与水平线构成 $45 °$ 角，此时风筝到达点 $E$ 处，风筝的水平移动距离 $CF = 10 \sqrt{3}$ 米，这一过程中风筝线的长度保持不变，求风筝原来的高度 $C_{1} D$ ．

已知：如图，在 $ΔABC$ 中， $AB = AC$ ，点 $P$ 是底边 $BC$ 上一点且满足 $PA = PB$ ， $⊙ O$ 是 $ΔPAB$ 的外接圆，过点 $P$ 作 $PD / / AB$ 交 $AC$ 于点 $D$ ．

（1）求证： $PD$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $BC = 8$ ， $\tan ∠ ABC = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，求 $⊙ O$ 的半径．