如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，∠ABC-优题课

题文

如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，∠ABC=60°，∠ACB=50°，请解答下列问题：

（1）∠CAD的度数；
（2）设AD、BC相交于E，AB、CD的延长线相交于F，求∠AEC、∠AFC的度数；
（3）若AD=6，求图中阴影部分的面积．

科目数学题型解答题难度中等

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我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图1，伞不管是张开还是收拢，伞柄 $AP$ 始终平分同一平面内两条伞骨所成的角 $∠ BAC$ ，且 $AB = AC$ ，从而保证伞圈 $D$ 能沿着伞柄滑动．如图2是伞完全收拢时伞骨的示意图，此时伞圈 $D$ 已滑动到点 $D^{'}$ 的位置，且 $A$ ， $B$ ， $D'$ 三点共线， $AD' = 40 cm$ ， $B$ 为 $AD'$ 中点．当 $∠ BAC = 140 °$ 时，伞完全张开．

（1）求 $AB$ 的长．

（2）当伞从完全张开到完全收拢，求伞圈 $D$ 沿着伞柄向下滑动的距离．

（参考数据： $\sin 70 ° \approx 0.94$ ， $\cos 70 ° \approx 0.34$ ， $\tan 70 ° \approx 2.75)$

图1表示的是某书店今年 $1 ~ 5$ 月的各月营业总额的情况，图2表示的是该书店"党史"类书籍的各月营业额占书店当月营业总额的百分比情况．若该书店 $1 ~ 5$ 月的营业总额一共是182万元，观察图1、图2，解答下列问题：

（1）求该书店4月份的营业总额，并补全条形统计图．

（2）求5月份"党史"类书籍的营业额．

（3）请你判断这5个月中哪个月"党史"类书籍的营业额最高，并说明理由．

如图，二次函数 $y = (x - 1) (x - a) (a$ 为常数）的图象的对称轴为直线 $x = 2$ ．

（1）求 $a$ 的值．

（2）向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．

如图是由边长为1的小正方形构成的 $6 \times 4$ 的网格，点 $A$ ， $B$ 均在格点上．

（1）在图1中画出以 $AB$ 为边且周长为无理数的 $▱ ABCD$ ，且点 $C$ 和点 $D$ 均在格点上（画出一个即可）．

（2）在图2中画出以 $AB$ 为对角线的正方形 $AEBF$ ，且点 $E$ 和点 $F$ 均在格点上．

（1）计算： $(1 + a) (1 - a) + {(a + 3)}^{2}$ ．

（2）解不等式组： $\{\begin{matrix} 2 x + 1 < 9 \\ 3 - x ⩽ 0 \end{matrix}$ ．

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