按要求解下列一元二次方程（3分×25分×2）（1）（公式法）-优题课

某校合唱团为了开展线上“百人合唱一首歌”的“云演出”活动，需招收新成员．小贤、小晴、小艺、小志四名同学报名参加了应聘活动，其中小贤、小艺来自七年级，小志、小晴来自八年级．现对这四名同学采取随机抽取的方式进行线上面试．

（1）若随机抽取一名同学，恰好抽到小艺同学的概率为　　；

（2）若随机抽取两名同学，请用列表法或树状图法求两名同学均来自八年级的概率．

先化简，再求值： $(\frac{2 x}{x^{2} - 1} - \frac{1}{x - 1}) \div \frac{x}{x + 1}$ ，其中 $x = \sqrt{2}$ ．

（1）计算： ${(1 - \sqrt{3})}^{0} - | - 2 | + {(\frac{1}{2})}^{- 2}$ ；

（2）解不等式组： $\{\begin{matrix} 3 x - 2 ⩾ 1, \\ 5 - x > 2 \cdot \end{matrix}$

如图，二次函数 $y = x^{2} - 3 x$ 的图象经过 $O (0, 0)$ ， $A (4, 4)$ ， $B (3, 0)$ 三点，以点 $O$ 为位似中心，在 $y$ 轴的右侧将 $ΔOAB$ 按相似比 $2 : 1$ 放大，得到△ $OA' B'$ ，二次函数 $y = a x^{2} + bx + c (a \neq 0)$ 的图象经过 $O$ ， $A'$ ， $B'$ 三点．

（1）画出△ $OA' B'$ ，试求二次函数 $y = a x^{2} + bx + c (a \neq 0)$ 的表达式；

（2）点 $P (m, n)$ 在二次函数 $y = x^{2} - 3 x$ 的图象上， $m \neq 0$ ，直线 $OP$ 与二次函数 $y = a x^{2} + bx + c (a \neq 0)$ 的图象交于点 $Q$ （异于点 $O)$ ．

①求点 $Q$ 的坐标（横、纵坐标均用含 $m$ 的代数式表示）

②连接 $AP$ ，若 $2 AP > OQ$ ，求 $m$ 的取值范围；

③当点 $Q$ 在第一象限内，过点 $Q$ 作 $QQ'$ 平行于 $x$ 轴，与二次函数 $y = a x^{2} + bx + c (a \neq 0)$ 的图象交于另一点 $Q'$ ，与二次函数 $y = x^{2} - 3 x$ 的图象交于点 $M$ ， $N (M$ 在 $N$ 的左侧），直线 $OQ'$ 与二次函数 $y = x^{2} - 3 x$ 的图象交于点 $P'$ ．△ $Q' P' M ∽$ △ $QB' N$ ，则线段 $NQ$ 的长度等于　．

（1）如图1，将矩形 $ABCD$ 折叠，使 $BC$ 落在对角线 $BD$ 上，折痕为 $BE$ ，点 $C$ 落在点 $C'$ 处，若 $∠ ADB = 46 °$ ，则 $∠ DBE$ 的度数为　　 $°$ ．

（2）小明手中有一张矩形纸片 $ABCD$ ， $AB = 4$ ， $AD = 9$ ．

【画一画】

如图2，点 $E$ 在这张矩形纸片的边 $AD$ 上，将纸片折叠，使 $AB$ 落在 $CE$ 所在直线上，折痕设为 $MN$ （点 $M$ ， $N$ 分别在边 $AD$ ， $BC$ 上），利用直尺和圆规画出折痕 $MN$ （不写作法，保留作图痕迹，并用黑色水笔把线段描清楚）；

【算一算】

如图3，点 $F$ 在这张矩形纸片的边 $BC$ 上，将纸片折叠，使 $FB$ 落在射线 $FD$ 上，折痕为 $GF$ ，点 $A$ ， $B$ 分别落在点 $A'$ ， $B'$ 处，若 $AG = \frac{7}{3}$ ，求 $B' D$ 的长；

【验一验】

如图4，点 $K$ 在这张矩形纸片的边 $AD$ 上， $DK = 3$ ，将纸片折叠，使 $AB$ 落在 $CK$ 所在直线上，折痕为 $HI$ ，点 $A$ ， $B$ 分别落在点 $A'$ ， $B'$ 处，小明认为 $B' I$ 所在直线恰好经过点 $D$ ，他的判断是否正确，请说明理由．