【改编】（本小题满分14分）已知正项数列
的前
项和为
，且
，
，成等比数列．
（1）求的通项公式；
（2）设
，求
的前项和
；
（3）在（2）的条件下，对任意
，
都成立，求整数
的最大值．
（本小题满分14分）如图，在四棱锥
中，底面
是正方形，
平面．点
是线段
的中点，点
是线段
上的动点．
（1）若是的中点，求证：
平面
；
（2）求证：
；
（3）若
，
，当三棱锥
的体积等于
时，试判断点在边上的位置，并说明
理由．
（本小题满分12分）某校在一次对学生在课外活动中喜欢跑步和喜欢打球的学生的抽样调查
中，随机抽取了
名同学，相关数据如下表所示：
| 喜欢跑步 |
喜欢打球 |
总计 |
|
| 男生 |
 |
 |
 |
| 女生 |
 |
 |
 |
| 总计 |
 |
 |
|
（1）由表中数据直观分析，喜欢打球的学生是否与性别有关？
（2）用分层抽样的方法在喜欢打球的学生中随机抽取
名，求男学生应该抽取几名？
（3）在上述抽取的名学生中任取
名，求恰有
名女学生的概率．
【原创】（本小题满分12分）已知函数
．
（1）求
的值；
（2）若
，且
，求
的值．
【改编】（本小题满分14分）已知函数
．
（1）若函数
在
处有极值，求
的值；
（2）当
时，讨论的单调性．
，
分别在两条直线
和
上运动，且它们的横坐标分别为角
的正弦，余弦，
.记
，求动点
的轨迹的普通方程.