从一副经过充分洗牌的52张（去掉大，小王）扑克牌中任取一张，-优题课

如图所示： $⊙ O$ 与 $ΔABC$ 的边 $BC$ 相切于点 $C$ ，与 $AC$ 、 $AB$ 分别交于点 $D$ 、 $E$ ， $DE / / OB$ ． $DC$ 是 $⊙ O$ 的直径．连接 $OE$ ，过 $C$ 作 $CG / / OE$ 交 $⊙ O$ 于 $G$ ，连接 $DG$ 、 $EC$ ， $DG$ 与 $EC$ 交于点 $F$ ．

（1）求证：直线 $AB$ 与 $⊙ O$ 相切；

（2）求证： $AE \cdot ED = AC \cdot EF$ ；

（3）若 $EF = 3$ ， $\tan ∠ ACE = \frac{1}{2}$ 时，过 $A$ 作 $AN / / CE$ 交 $⊙ O$ 于 $M$ 、 $N$ 两点 $(M$ 在线段 $AN$ 上），求 $AN$ 的长．

鄂州市某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度 $CD$ ．如图所示，一架水平飞行的无人机在 $A$ 处测得正前方河流的左岸 $C$ 处的俯角为 $α$ ，无人机沿水平线 $AF$ 方向继续飞行50米至 $B$ 处，测得正前方河流右岸 $D$ 处的俯角为 $30 °$ ．线段 $AM$ 的长为无人机距地面的铅直高度，点 $M$ 、 $C$ 、 $D$ 在同一条直线上．其中 $\tan α = 2$ ， $MC = 50 \sqrt{3}$ 米．

（1）求无人机的飞行高度 $AM$ ；（结果保留根号）

（2）求河流的宽度 $CD$ ．（结果精确到1米，参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.41$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73)$

已知关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 4 x + k + 1 = 0$ 有两实数根．

（1）求 $k$ 的取值范围；

（2）设方程两实数根分别为 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，且 $\frac{3}{x_{1}} + \frac{3}{x_{2}} = x_{1} x_{2} - 4$ ，求实数 $k$ 的值．

某校为了了解全校学生线上学习情况，随机选取该校部分学生，调查学生居家学习时每天学习时间（包括线上听课及完成作业时间）．如图是根据调查结果绘制的统计图表．请你根据图表中的信息完成下列问题：

频数分布表

学习时间分组	频数	频率
$A$ 组 $(0 ⩽ x < 1)$	9	$m$
$B$ 组 $(1 ⩽ x < 2)$	18	0.3
$C$ 组 $(2 ⩽ x < 3)$	18	0.3
$D$ 组 $(3 ⩽ x < 4)$	$n$	0.2
$E$ 组 $(4 ⩽ x < 5)$	3	0.05

（1）频数分布表中 $m =$ 　　， $n =$ 　　，并将频数分布直方图补充完整；

（2）若该校有学生1000名，现要对每天学习时间低于2小时的学生进行提醒，根据调查结果，估计全校需要提醒的学生有多少名？

（3）已知调查的 $E$ 组学生中有2名男生1名女生，老师随机从中选取2名学生进一步了解学生居家学习情况．请用树状图或列表求所选2名学生恰为一男生一女生的概率．

如图，在平行四边形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$ 与 $BD$ 交于点 $O$ ，点 $M$ ， $N$ 分别为 $OA$ 、 $OC$ 的中点，延长 $BM$ 至点 $E$ ，使 $EM = BM$ ，连接 $DE$ ．

（1）求证： $ΔAMB ≅ ΔCND$ ；

（2）若 $BD = 2 AB$ ，且 $AB = 5$ ， $DN = 4$ ，求四边形 $DEMN$ 的面积．