从一副经过充分洗牌的52张（去掉大，小王）扑克牌中任取一张，-优题课

定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．

（1）如图1，在 $ΔABC$ 中， $AB = AC$ ， $AD$ 是 $ΔABC$ 的角平分线， $E$ ， $F$ 分别是 $BD$ ， $AD$ 上的点．

求证：四边形 $ABEF$ 是邻余四边形．

（2）如图2，在 $5 \times 4$ 的方格纸中， $A$ ， $B$ 在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形 $ABEF$ ，使 $AB$ 是邻余线， $E$ ， $F$ 在格点上．

（3）如图3，在（1）的条件下，取 $EF$ 中点 $M$ ，连结 $DM$ 并延长交 $AB$ 于点 $Q$ ，延长 $EF$ 交 $AC$ 于点 $N$ ．若 $N$ 为 $AC$ 的中点， $DE = 2 BE$ ， $QB = 3$ ，求邻余线 $AB$ 的长．

某风景区内的公路如图1所示，景区内有免费的班车，从入口处出发，沿该公路开往草甸，途中停靠塔林（上下车时间忽略不计）．第一班车上午8点发车，以后每隔10分钟有一班车从入口处发车．小聪周末到该风景区游玩，上午 $7 : 40$ 到达入口处，因还没到班车发车时间，于是从景区入口处出发，沿该公路步行25分钟后到达塔林．离入口处的路程 $y$ （米 $)$ 与时间 $x$ （分 $)$ 的函数关系如图2所示．

（1）求第一班车离入口处的路程 $y$ （米 $)$ 与时间 $x$ （分 $)$ 的函数表达式．

（2）求第一班车从入口处到达塔林所需的时间．

（3）小聪在塔林游玩40分钟后，想坐班车到草甸，则小聪最早能够坐上第几班车？如果他坐这班车到草甸，比他在塔林游玩结束后立即步行到草甸提早了几分钟？（假设每一班车速度均相同，小聪步行速度不变）

如图，矩形 $EFGH$ 的顶点 $E$ ， $G$ 分别在菱形 $ABCD$ 的边 $AD$ ， $BC$ 上，顶点 $F$ ， $H$ 在菱形 $ABCD$ 的对角线 $BD$ 上．

（1）求证： $BG = DE$ ；

（2）若 $E$ 为 $AD$ 中点， $FH = 2$ ，求菱形 $ABCD$ 的周长．

如图，已知二次函数 $y = x^{2} + ax + 3$ 的图象经过点 $P (- 2, 3)$ ．

（1）求 $a$ 的值和图象的顶点坐标．

（2）点 $Q (m, n)$ 在该二次函数图象上．

①当 $m = 2$ 时，求 $n$ 的值；

②若点 $Q$ 到 $y$ 轴的距离小于2，请根据图象直接写出 $n$ 的取值范围．

今年5月15日，亚洲文明对话大会在北京开幕．为了增进学生对亚洲文化的了解，某学校开展了相关知识的宣传教育活动．为了解这次宣传活动的效果，学校从全校1200名学生中随机抽取100名学生进行知识测试（测试满分100分，得分均为整数），并根据这100人的测试成绩，制作了如下统计图表．

100名学生知识测试成绩的频数表

成绩 $a$ （分 $)$	频数（人 $)$
$50 ⩽ a < 60$	10
$60 ⩽ a < 70$	15
$70 ⩽ a < 80$	$m$
$80 ⩽ a < 90$	40
$90 ⩽ a ⩽ 100$	15

由图表中给出的信息回答下列问题：

（1） $m =$ 　　，并补全频数直方图；

（2）小明在这次测试中成绩为85分，你认为85分一定是这100名学生知识测试成绩的中位数吗？请简要说明理由；

（3）如果80分以上（包括80分）为优秀，请估计全校1200名学生中成绩优秀的人数．