在△ABC中，BC24cm，外心O到BC的距离为5cm，求△-优题课

在平面直角坐标系中，借助直角三角板可以找到一元二次方程的实数根．比如对于方程 $x^{2} - 5 x + 2 = 0$ ，操作步骤是：

第一步：根据方程的系数特征，确定一对固定点 $A (0, 1)$ ， $B (5, 2)$ ；

第二步：在坐标平面中移动一个直角三角板，使一条直角边恒过点 $A$ ，另一条直角边恒过点 $B$ ；

第三步：在移动过程中，当三角板的直角顶点落在 $x$ 轴上点 $C$ 处时，点 $C$ 的横坐标 $m$ 即为该方程的一个实数根（如图 $1)$ ；

第四步：调整三角板直角顶点的位置，当它落在 $x$ 轴上另一点 $D$ 处时，点 $D$ 的横坐标 $n$ 即为该方程的另一个实数根．

（1）在图2中，按照“第四步”的操作方法作出点 $D$ （请保留作出点 $D$ 时直角三角板两条直角边的痕迹）；

（2）结合图1，请证明“第三步”操作得到的 $m$ 就是方程 $x^{2} - 5 x + 2 = 0$ 的一个实数根；

（3）上述操作的关键是确定两个固定点的位置．若要以此方法找到一元二次方程 $a x^{2} + bx + c = 0 (a \neq 0, b^{2} - 4 ac ⩾ 0)$ 的实数根，请你直接写出一对固定点的坐标；

（4）实际上，（3）中的固定点有无数对，一般地，当 $m_{1}$ ， $n_{1}$ ， $m_{2}$ ， $n_{2}$ 与 $a$ ， $b$ ， $c$ 之间满足怎样的关系时，点 $P (m_{1}$ ， $n_{1})$ ， $Q (m_{2}$ ， $n_{2})$ 就是符合要求的一对固定点？

交通工程学理论把在单向道路上行驶的汽车看成连续的流体，并用流量、速度、密度三个概念描述车流的基本特征．其中流量 $q$ （辆 $/$ 小时）指单位时间内通过道路指定断面的车辆数；速度 $v$ （千米 $/$ 小时）指通过道路指定断面的车辆速度；密度 $k$ （辆 $/$ 千米）指通过道路指定断面单位长度内的车辆数．

为配合大数据治堵行动，测得某路段流量 $q$ 与速度 $v$ 之间关系的部分数据如下表：

速度 $v$ （千米 $/$ 小时）	$\dots$	5	10	20	32	40	48	$\dots$
流量 $q$ （辆 $/$ 小时）	$\dots$	550	1000	1600	1792	1600	1152	$\dots$

（1）根据上表信息，下列三个函数关系式中，刻画 $q$ ， $v$ 关系最准确的是　　（只填上正确答案的序号）

① $q = 90 v + 100$ ；② $q = \frac{32000}{v}$ ；③ $q = - 2 v^{2} + 120 v$ ．

（2）请利用（1）中选取的函数关系式分析，当该路段的车流速度为多少时，流量达到最大？最大流量是多少？

（3）已知 $q$ ， $v$ ， $k$ 满足 $q = vk$ ，请结合（1）中选取的函数关系式继续解决下列问题．

①市交通运行监控平台显示，当 $12 ⩽ v < 18$ 时道路出现轻度拥堵．试分析当车流密度 $k$ 在什么范围时，该路段将出现轻度拥堵；

②在理想状态下，假设前后两车车头之间的距离 $d$ （米 $)$ 均相等，求流量 $q$ 最大时 $d$ 的值．

如图，已知等腰直角三角形 $ABC$ ，点 $P$ 是斜边 $BC$ 上一点（不与 $B$ ， $C$ 重合）， $PE$ 是 $ΔABP$ 的外接圆 $⊙ O$ 的直径．

（1）求证： $ΔAPE$ 是等腰直角三角形；

（2）若 $⊙ O$ 的直径为2，求 $P C^{2} + P B^{2}$ 的值．

家庭过期药品属于“国家危险废物”，处理不当将污染环境，危害健康．某市药监部门为了解市民家庭处理过期药品的方式，决定对全市家庭作一次简单随机抽样调查．

（1）下列选取样本的方法最合理的一种是　　．（只需填上正确答案的序号）

①在市中心某个居民区以家庭为单位随机抽取；

②在全市医务工作者中以家庭为单位随机抽取；

③在全市常住人口中以家庭为单位随机抽取．

（2）本次抽样调查发现，接受调查的家庭都有过期药品，现将有关数据呈现如图：

① $m =$ 　　， $n =$ 　　；

②补全条形统计图；

③根据调查数据，你认为该市市民家庭处理过期药品最常见的方式是什么？

④家庭过期药品的正确处理方式是送回收点，若该市有180万户家庭，请估计大约有多少户家庭处理过期药品的方式是送回收点．

如图，直线 $l_{1} : y = 2 x + 1$ 与直线 $l_{2} : y = mx + 4$ 相交于点 $P (1, b)$ ．

（1）求 $b$ ， $m$ 的值；

（2）垂直于 $x$ 轴的直线 $x = a$ 与直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 分别交于点 $C$ ， $D$ ，若线段 $CD$ 长为2，求 $a$ 的值．