某邮递员从邮局出发，先向西走2km到达A村，继续向西走3km-优题课

【阅读】

通过构造恰当的图形，可以对线段长度、图形面积大小等进行比较，直观地得到一些不等关系或最值，这是"数形结合"思想的典型应用．

【理解】

（1）如图1， $AC ⊥ BC$ ， $CD ⊥ AB$ ，垂足分别为 $C$ 、 $D$ ， $E$ 是 $AB$ 的中点，连接 $CE$ ．已知 $AD = a$ ， $BD = b (0 < a < b)$ ．

①分别求线段 $CE$ 、 $CD$ 的长（用含 $a$ 、 $b$ 的代数式表示）；

②比较大小： $CE$ 　　 $CD$ （填" $<$ "、" $=$ "或" $>$ " $)$ ，并用含 $a$ 、 $b$ 的代数式表示该大小关系．

【应用】

（2）如图2，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，点 $M$ 、 $N$ 在反比例函数 $y = \frac{1}{x} (x > 0)$ 的图象上，横坐标分别为 $m$ 、 $n$ ．设 $p = m + n$ ， $q = \frac{1}{m} + \frac{1}{n}$ ，记 $l = \frac{1}{4} pq$ ．

①当 $m = 1$ ， $n = 2$ 时， $l =$ 　　；当 $m = 3$ ， $n = 3$ 时， $l =$ 　　；

②通过归纳猜想，可得 $l$ 的最小值是　　．请根据图2构造恰当的图形，并说明你的猜想成立．

如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，一次函数 $y = \frac{1}{2} x + b$ 的图象分别与 $x$ 轴、 $y$ 轴交于点 $A$ 、 $B$ ，与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象交于点 $C$ ，连接 $OC$ ．已知点 $A (- 4, 0)$ ， $AB = 2 BC$ ．

（1）求 $b$ 、 $k$ 的值；

（2）求 $ΔAOC$ 的面积．

为落实节约用水的政策，某旅游景点进行设施改造，将手拧水龙头全部更换成感应水龙头．已知该景点在设施改造后，平均每天用水量是原来的一半，20吨水可以比原来多用5天．该景点在设施改造后平均每天用水多少吨？

如图， $B$ 、 $F$ 、 $C$ 、 $E$ 是直线 $l$ 上的四点， $AB / / DE$ ， $AB = DE$ ， $BF = CE$ ．

（1）求证： $ΔABC ≅ ΔDEF$ ；

（2）将 $ΔABC$ 沿直线 $l$ 翻折得到△ $A' BC$ ．

①用直尺和圆规在图中作出△ $A' BC$ （保留作图痕迹，不要求写作法）；

②连接 $A' D$ ，则直线 $A' D$ 与 $l$ 的位置关系是　　．

在3张相同的小纸条上，分别写上条件：①四边形 $ABCD$ 是菱形；②四边形 $ABCD$ 有一个内角是直角；③四边形 $ABCD$ 的对角线相等．将这3张小纸条做成3支签，放在一个不透明的盒子中．

（1）搅匀后从中任意抽出1支签，抽到条件①的概率是　　；

（2）搅匀后先从中任意抽出1支签（不放回），再从余下的2支签中任意抽出1支签．四边形 $ABCD$ 同时满足抽到的2张小纸条上的条件，求四边形 $ABCD$ 一定是正方形的概率．