已知ab2﹣1，求（﹣ab）（a2b5﹣ab3﹣b）的值．-优题课

荆岗中学决定在本校学生中，开展足球、篮球、羽毛球、乒乓球四种活动，为了了解学生对这四种活动的喜爱情况，学校随机调查了该校 $m$ 名学生，看他们喜爱哪一种活动（每名学生必选一种且只能从这四种活动中选择一种），现将调查的结果绘制成如下不完整的统计图．

（1） $m =$ 　　， $n =$ 　　；

（2）请补全图中的条形图；

（3）根据抽样调查的结果，请估算全校1800名学生中，大约有多少人喜爱踢足球；

（4）在抽查的 $m$ 名学生中，喜爱打乒乓球的有10名同学（其中有4名女生，包括小红、小梅），现将喜爱打乒乓球的同学平均分成两组进行训练，且女生每组分两人，求小红、小梅能分在同一组的概率．

如图，直线 $l : y = kx + b (k < 0)$ 与函数 $y = \frac{4}{x} (x > 0)$ 的图象相交于 $A$ 、 $C$ 两点，与 $x$ 轴相交于 $T$ 点，过 $A$ 、 $C$ 两点作 $x$ 轴的垂线，垂足分别为 $B$ 、 $D$ ，过 $A$ 、 $C$ 两点作 $y$ 轴的垂线，垂足分别为 $E$ 、 $F$ ；直线 $AE$ 与 $CD$ 相交于点 $P$ ，连接 $DE$ ．设 $A$ 、 $C$ 两点的坐标分别为 $(a, \frac{4}{a})$ 、 $(c, \frac{4}{c})$ ，其中 $a > c > 0$ ．

（1）如图①，求证： $∠ EDP = ∠ ACP$ ；

（2）如图②，若 $A$ 、 $D$ 、 $E$ 、 $C$ 四点在同一圆周上，求 $k$ 的值；

（3）如图③，已知 $c = 1$ ，且点 $P$ 在直线 $BF$ 上，试问：在线段 $AT$ 上是否存在点 $M$ ，使得 $OM ⊥ AM$ ？如存在，请求出点 $M$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

在现实生活中，我们经常会看到许多“标准”的矩形，如我们的课本封面、 $A 4$ 的打印纸等，其实这些矩形的长与宽之比都为 $\sqrt{2} : 1$ ，我们不妨就把这样的矩形称为“标准矩形”，在“标准矩形” $ABCD$ 中， $P$ 为 $DC$ 边上一定点，且 $CP = BC$ ，如图所示．

（1）如图①，求证： $BA = BP$ ；

（2）如图②，点 $Q$ 在 $DC$ 上，且 $DQ = CP$ ，若 $G$ 为 $BC$ 边上一动点，当 $ΔAGQ$ 的周长最小时，求 $\frac{CG}{GB}$ 的值；

（3）如图③，已知 $AD = 1$ ，在（2）的条件下，连接 $AG$ 并延长交 $DC$ 的延长线于点 $F$ ，连接 $BF$ ， $T$ 为 $BF$ 的中点， $M$ 、 $N$ 分别为线段 $PF$ 与 $AB$ 上的动点，且始终保持 $PM = BN$ ，请证明： $ΔMNT$ 的面积 $S$ 为定值，并求出这个定值．

我市东坡实验中学准备开展“阳光体育活动”，决定开设足球、篮球、乒乓球、羽毛球、排球等球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了 $m$ 名学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）．

根据以上统计图提供的信息，请解答下列问题：

（1） $m =$ 　　， $n =$ 　　．

（2）补全上图中的条形统计图．

（3）若全校共有2000名学生，请求出该校约有多少名学生喜爱打乒乓球．

（4）在抽查的 $m$ 名学生中，有小薇、小燕、小红、小梅等10名学生喜欢羽毛球活动，学校打算从小薇、小燕、小红、小梅这4名女生中，选取2名参加全市中学生女子羽毛球比赛，请用列表法或画树状图法，求同时选中小红、小燕的概率．（解答过程中，可将小薇、小燕、小红、小梅分别用字母 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 代表）

如图， $∠ AOB = 90 °$ ，反比例函数 $y = - \frac{2}{x} (x < 0)$ 的图象过点 $A (- 1, a)$ ，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0, x > 0)$ 的图象过点 $B$ ，且 $AB / / x$ 轴．

（1）求 $a$ 和 $k$ 的值；

（2）过点 $B$ 作 $MN / / OA$ ，交 $x$ 轴于点 $M$ ，交 $y$ 轴于点 $N$ ，交双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 于另一点 $C$ ，求 $ΔOBC$ 的面积．