今年5月31日是世界卫生组织发起的第25个世界无烟日．为了更-优题课

已知，在 $ΔABC$ 中，点 $D$ 在 $AB$ 上，点 $E$ 是 $BC$ 延长线上一点，且 $AD = CE$ ，连接 $DE$ 交 $AC$ 于点 $F$ ．

（1）猜想证明：如图1，在 $ΔABC$ 中，若 $AB = BC$ ，学生们发现： $DF = EF$ ．下面是两位学生的证明思路：

思路1：过点 $D$ 作 $DG / / BC$ ，交 $AC$ 于点 $G$ ，可证 $ΔDFG ≅ ΔEFC$ 得出结论；

思路2：过点 $E$ 作 $EH / / AB$ ，交 $AC$ 的延长线于点 $H$ ，可证 $ΔADF ≅ ΔHEF$ 得出结论；

$\dots$

请你参考上面的思路，证明 $DF = EF$ （只用一种方法证明即可）．

（2）类比探究：在（1）的条件下（如图 $1)$ ，过点 $D$ 作 $DM ⊥ AC$ 于点 $M$ ，试探究线段 $AM$ ， $MF$ ， $FC$ 之间满足的数量关系，并证明你的结论．

（3）延伸拓展：如图2，在 $ΔABC$ 中，若 $AB = AC$ ， $∠ ABC = 2 ∠ BAC$ ， $\frac{AB}{BC} = m$ ，请你用尺规作图在图2中作出 $AD$ 的垂直平分线交 $AC$ 于点 $N$ （不写作法，只保留作图痕迹），并用含 $m$ 的代数式直接表示 $\frac{NF}{AC}$ 的值．

今年是“精准扶贫”攻坚关键年，某扶贫工作队为对口扶贫村引进建立了一村集体企业，并无偿提供一笔无息贷款作为启动资金，双方约定：①企业生产出的产品全部由扶贫工作队及时联系商家收购；②企业从生产销售的利润中，要保证按时发放工人每月最低工资32000元．已知该企业生产的产品成本为20元 $/$ 件，月生产量 $y$ （千件）与出厂价 $x$ （元 $) (25 ⩽ x ⩽ 50)$ 的函数关系可用图中的线段 $AB$ 和 $BC$ 表示，其中 $AB$ 的解析式为 $y = - \frac{1}{20} x + m (m$ 为常数）．

（1）求该企业月生产量 $y$ （千件）与出厂价 $x$ （元 $)$ 之间的函数关系式，并写出自变量 $x$ 的取值范围．

（2）当该企业生产出的产品出厂价定为多少元时，月利润 $W$ （元 $)$ 最大？最大利润是多少？ $[$ 月利润 $=$ （出厂价 $-$ 成本） $\times$ 月生产量 $-$ 工人月最低工资 $]$ ．

如图，以 $ΔABC$ 的边 $AC$ 为直径的 $⊙ O$ 交 $AB$ 边于点 $M$ ，交 $BC$ 边于点 $N$ ，连接 $AN$ ，过点 $C$ 的切线交 $AB$ 的延长线于点 $P$ ， $∠ BCP = ∠ BAN$ ．

（1）求证： $ΔABC$ 为等腰三角形．

（2）求证： $AM \cdot CP = AN \cdot CB$ ．

在四边形 $ABCD$ 中，有下列条件：① $AB \overset{/ /}{=} CD$ ；② $AD \overset{/ /}{=} BC$ ；③ $AC = BD$ ；④ $AC ⊥ BD$ ．

（1）从中任选一个作为已知条件，能判定四边形 $ABCD$ 是平行四边形的概率是　．

（2）从中任选两个作为已知条件，请用画树状图或列表的方法表示能判定四边形 $ABCD$ 是矩形的概率，并判断能判定四边形 $ABCD$ 是矩形和是菱形的概率是否相等？

如图， $AB$ 是某景区内高 $10 m$ 的观景台， $CD$ 是与 $AB$ 底部相平的一座雕像（含底座），在观景台顶 $A$ 处测得雕像顶 $C$ 点的仰角为 $30 °$ ，从观景台底部 $B$ 处向雕像方向水平前进 $6 m$ 到达点 $E$ ，在 $E$ 处测得雕像顶 $C$ 点的仰角为 $60 °$ ，已知雕像底座 $DF$ 高 $8 m$ ，求雕像 $CF$ 的高．（结果保留根号）