（本小题满分14分）已知函数，，为自然对数的底数.（Ⅰ）当时-优题课

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（本小题满分14分）已知函数，，为自然对数的底数.
（Ⅰ）当时，求函数在点处的切线方程；
（Ⅱ）设，比较与的大小，并加以证明.

科目数学题型解答题难度较难

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已知双曲线，P是其右支上任一点，F₁_、F₂分别是双曲线的左、右焦点，Q是P F₁上的点，N是F₂Q上的一点。且有
求Q点的轨迹方程。

在直角坐标平面内，已知点，是平面内一动点，直线、斜率之积为.
(Ⅰ)求动点的轨迹的方程；
(Ⅱ)过点作直线与轨迹交于两点，线段的中点为,求直线的斜率的取值范围.

已知椭圆C过点是椭圆的左焦点，P、Q是椭圆C上的两个动点，且|PF|、|MF|、|QF|成等差数列。
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）求证：线段PQ的垂直平分线经过一个定点A；
（3）设点A关于原点O的对称点是B，求|PB|的最小值及相应点P的坐标。

在直角坐标系 $x O y$ 中，椭圆 $C_{1}$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ． $F_{2}$ 也是抛物线 $C_{2}$ ： $y^{2} = 4 x$ 的焦点，点 $M$ 为 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 在第一象限的交点，且 $|M F_{2}| = \frac{5}{3}$ ．
（Ⅰ）求 $C_{1}$ 的方程；
（Ⅱ）平面上的点 $N$ 满足 $\overset{⇀}{M N} = \overset{⇀}{M F_{1}} + \overset{⇀}{M F_{2}}$ ，直线 $l ∥ M N$ ，且与 $C_{1}$ 交于 $A, B$ 两点，若 $\overset{⇀}{O A} \cdot \overset{⇀}{O B} = 0$ ，求直线 $l$ 的方程．

将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处,小球将自由下落.小球在下落过程中,将3次遇到黑色障碍物,最后落入袋或袋中.已知小球每次遇到黑色障碍物时向左、右两边下落的概率都是.

（Ⅰ）求小球落入袋中的概率;
（Ⅱ）在容器入口处依次放入4个小球,记为落入袋中小球的个数,试求的概率和的数学期望.

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