（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC90°，ABA-优题课

（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E。
证明：DE=BD+CE。
（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由。
（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状，并给出证明。

科目数学题型解答题难度较难

知识点：三角形的五心

耸立在临清市城北大运河东岸的舍利宝塔，是“运河四大名塔”之一（如图 $1)$ ．数学兴趣小组的小亮同学在塔上观景点 $P$ 处，利用测角仪测得运河两岸上的 $A$ ， $B$ 两点的俯角分别为 $17.9 °$ ， $22 °$ ，并测得塔底点 $C$ 到点 $B$ 的距离为142米 $(A$ 、 $B$ 、 $C$ 在同一直线上，如图 $2)$ ，求运河两岸上的 $A$ 、 $B$ 两点的距离（精确到1米）．

（参考数据： $\sin 22 ° \approx 0.37$ ， $\cos 22 ° \approx 0.93$ ， $\tan 22 ° \approx 0.40$ ， $\sin 17.9 ° \approx 0.31$ ， $\cos 17.9 ° \approx 0.95$ ， $\tan 17.9 ° \approx 0.32)$

为了绿化环境，育英中学八年级三班同学都积极参加植树活动，今年植树节时，该班同学植树情况的部分数据如图所示，请根据统计图信息，回答下列问题：

（1）八年级三班共有多少名同学？

（2）条形统计图中， $m =$ 　　， $n =$ 　　．

（3）扇形统计图中，试计算植树2棵的人数所对应的扇形圆心角的度数．

如图，已知 $AB / / DE$ ， $AB = DE$ ， $BE = CF$ ，求证： $AC / / DF$ ．

抛物线 $y = a x^{2} + bx + c$ 过 $A (2, 3)$ ， $B (4, 3)$ ， $C (6, - 5)$ 三点．

（1）求抛物线的表达式；

（2）如图①，抛物线上一点 $D$ 在线段 $AC$ 的上方， $DE ⊥ AB$ 交 $AC$ 于点 $E$ ，若满足 $\frac{DE}{AE} = \frac{\sqrt{5}}{2}$ ，求点 $D$ 的坐标；

（3）如图②， $F$ 为抛物线顶点，过 $A$ 作直线 $l ⊥ AB$ ，若点 $P$ 在直线 $l$ 上运动，点 $Q$ 在 $x$ 轴上运动，是否存在这样的点 $P$ 、 $Q$ ，使得以 $B$ 、 $P$ 、 $Q$ 为顶点的三角形与 $ΔABF$ 相似，若存在，求 $P$ 、 $Q$ 的坐标，并求此时 $ΔBPQ$ 的面积；若不存在，请说明理由．

已知 $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径， $C$ 是圆上一点， $∠ BAC$ 的平分线交 $⊙ O$ 于点 $D$ ，过 $D$ 作 $DE ⊥ AC$ 交 $AC$ 的延长线于点 $E$ ，如图①．

（1）求证： $DE$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $AB = 10$ ， $AC = 6$ ，求 $BD$ 的长；

（3）如图②，若 $F$ 是 $OA$ 中点， $FG ⊥ OA$ 交直线 $DE$ 于点 $G$ ，若 $FG = \frac{19}{4}$ ， $\tan ∠ BAD = \frac{3}{4}$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

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