如图，点是半圆的半径上的动点，作于．点是半圆上位于左侧的点，-优题课

如图，点是半圆的半径上的动点，作于．点是半圆上位于左侧的点，连结交线段于，且．

（1）求证：是⊙O的切线．
（2）若⊙O的半径为，，设．
①求关于的函数关系式．
②当时，求的值．

科目数学题型解答题难度较易

知识点：圆幂定理

如图①，等腰直角三角形 $OEF$ 的直角顶点 $O$ 为正方形 $ABCD$ 的中心，点 $C$ ， $D$ 分别在 $OE$ 和 $OF$ 上，现将 $ΔOEF$ 绕点 $O$ 逆时针旋转 $α$ 角 $(0 ° < α < 90 °)$ ，连接 $AF$ ， $DE$ （如图② $)$ ．

（1）在图②中， $∠ AOF =$ 　　；（用含 $α$ 的式子表示）

（2）在图②中猜想 $AF$ 与 $DE$ 的数量关系，并证明你的结论．

先化简 $(\frac{a}{a - 1} - 1) \div \frac{2}{a^{2} - a}$ ，然后从 $- 2 ⩽ a < 2$ 中选出一个合适的整数作为 $a$ 的值代入求值．

已知： $a = (\sqrt{3} - 1) (\sqrt{3} + 1) + | 1 - \sqrt{2} |$ ， $b = \sqrt{8} - 2 \sin 45 ° + {(\frac{1}{2})}^{- 1}$ ，求 $b - a$ 的算术平方根．

已知抛物线 $y = a x^{2} + bx + c$ 顶点 $(2, - 1)$ ，经过点 $(0, 3)$ ，且与直线 $y = x - 1$ 交于 $A$ ， $B$ 两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若在抛物线上恰好存在三点 $Q$ ， $M$ ， $N$ ，满足 $S_{ΔQAB} = S_{ΔMAB} = S_{ΔNAB} = S$ ，求 $S$ 的值；

（3）在 $A$ ， $B$ 之间的抛物线弧上是否存在点 $P$ 满足 $∠ APB = 90 °$ ？若存在，求点 $P$ 的横坐标；若不存在，请说明理由．

（坐标平面内两点 $M (x_{1}$ ， $y_{1})$ ， $N (x_{2}$ ， $y_{2})$ 之间的距离 $MN = \sqrt{{(x_{1} - x_{2})}^{2} + {(y_{1} - y_{2})}^{2}})$

为落实“精准扶贫”精神，市农科院专家指导李大爷利用坡前空地种植优质草莓．根据场调查，在草莓上市销售的30天中，其销售价格 $m$ （元 $/$ 公斤）与第 $x$ 天之间满足 $m = \{\begin{matrix} 3 x + 15 (1 ⩽ x ⩽ 15), \\ - x + 75 (15 < x ⩽ 30) \cdot \end{matrix} (x$ 为正整数），销售量 $n$ （公斤）与第 $x$ 天之间的函数关系如图所示：

如果李大爷的草莓在上市销售期间每天的维护费用为80元．

（1）求销售量 $n$ 与第 $x$ 天之间的函数关系式；

（2）求在草莓上市销售的30天中，每天的销售利润 $y$ 与第 $x$ 天之间的函数关系式；（日销售利润 $=$ 日销售额 $-$ 日维护费）

（3）求日销售利润 $y$ 的最大值及相应的 $x$ ．

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