如图，已知是半圆的直径，、是半圆上的两点，且∥，交于点。（1-优题课

如图，已知抛物线 $y = a x^{2} + bx + 5 (a \neq 0)$ 与 $x$ 轴交于点 $A (- 5, 0)$ ，点 $B (1, 0)$ （点 $A$ 在点 $B$ 的左边），与 $y$ 轴交于点 $C$ ，点 $D$ 为抛物线的顶点，连接 $BD$ ．直线 $y = - \frac{1}{2} x - \frac{5}{2}$ 经过点 $A$ ，且与 $y$ 轴交于点 $E$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点 $N$ 是抛物线上的一点，当 $ΔBDN$ 是以 $DN$ 为腰的等腰三角形时，求点 $N$ 的坐标；

（3）点 $F$ 为线段 $AE$ 上的一点，点 $G$ 为线段 $OA$ 上的一点，连接 $FG$ ，并延长 $FG$ 与线段 $BD$ 交于点 $H$ （点 $H$ 在第一象限），当 $∠ EFG = 3 ∠ BAE$ 且 $HG = 2 FG$ 时，求出点 $F$ 的坐标．

如图所示，四边形 $ABCD$ 为正方形，在 $ΔECH$ 中， $∠ ECH = 90 °$ ， $CE = CH$ ， $HE$ 的延长线与 $CD$ 的延长线交于点 $F$ ，点 $D$ 、 $B$ 、 $H$ 在同一条直线上．

（1）求证： $ΔCDE ≅ ΔCBH$ ；

（2）当 $\frac{HB}{HD} = \frac{1}{5}$ 时，求 $\frac{FD}{FC}$ 的值；

（3）当 $HB = 3$ ， $HG = 4$ 时，求 $\sin ∠ CFE$ 的值．

如图，在 $ΔABC$ 中， $AB = AC$ ，以 $AB$ 为直径的 $⊙ O$ 与 $BC$ 相交于点 $D$ ， $DE ⊥ AC$ ，垂足为 $E$ ．

（1）求证： $DE$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若弦 $MN$ 垂直于 $AB$ ，垂足为 $G$ ， $\frac{AG}{AB} = \frac{1}{4}$ ， $MN = \sqrt{3}$ ，求 $⊙ O$ 的半径；

（3）在（2）的条件下，当 $∠ BAC = 36 °$ 时，求线段 $CE$ 的长．

小刚和小亮两人沿着直线跑道都从甲地出发，沿着同一方向到达乙地，甲乙两地之间的距离是720米，先到乙地的人原地休息．已知小刚先从甲地出发4秒后，小亮从甲地出发，两人均保持匀速前行第一次相遇后，保持原速跑一段时间，小刚突然加速，速度比原来增加了2米 $/$ 秒，并保持这一速度跑到乙地（小刚加速过程忽略不计）．小刚与小亮两人的距离 $S$ （米 $)$ 与小亮出发时间 $t$ （秒 $)$ 之间的函数图象，如图所示．根据所给信息解决以下问题．

（1） $m =$ 　　， $n =$ 　　；

（2）求 $CD$ 和 $EF$ 所在直线的解析式；

（3）直接写出 $t$ 为何值时，两人相距30米．

一种可折叠的医疗器械放置在水平地面上，这种医疗器械的侧面结构如图实线所示，底座为 $ΔABC$ ，点 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 在同一条直线上，测得 $∠ ACB = 90 °$ ， $∠ ABC = 60 °$ ， $AB = 32 cm$ ， $∠ BDE = 75 °$ ，其中一段支撑杆 $CD = 84 cm$ ，另一段支撑杆 $DE = 70 cm$ ．求支撑杆上的点 $E$ 到水平地面的距离 $EF$ 是多少？（用四舍五入法对结果取整数，参考数据： $\sin 15 ° \approx 0.26$ ， $\cos 15 ° \approx 0.97$ ， $\tan 15 ° \approx 0.27$ ， $\sqrt{3} \approx 1.732)$