如图①，在矩形ABCD中，AB＝10cm，BC＝8cm．点P-优题课

如图①，在矩形 ABCD中，AB＝10cm，BC＝8cm．点P从A出发，沿A→B→C→D路线运动，到D停止；点Q从D出发，沿 D→C→B→A路线运动，到A停止．若点P、点Q同时出发，点P的速度为每秒1cm，点Q的速度为每秒2cm，a秒时点P、点Q同时改变速度，点P的速度变为每秒bcm，点Q的速度变为每秒dcm．图②是点P出发x秒后△APD的面积S₁（cm²）与x（秒）的函数关系图象；图③是点Q出发x秒后△AQD的面积S₂（cm²）与x（秒）的函数关系图象．

（1）参照图象，求b、图②中c及d的值；
（2）连接PQ，当PQ平分矩形ABCD的面积时，运动时间x的值为；
（3）当两点改变速度后，设点P、Q在运动线路上相距的路程为y（cm），求y（cm）与运动时间x（秒）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（4）若点P、点Q在运动路线上相距的路程为25cm，求x的值．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：一次函数的最值

如图，在 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ C = 90 °$ ，点 $D$ 在线段 $AB$ 上，以 $AD$ 为直径的 $⊙ O$ 与 $BC$ 相交于点 $E$ ，与 $AC$ 相交于点 $F$ ， $∠ B = ∠ BAE = 30 °$ ．

（1）求证： $BC$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $AC = 3$ ，求 $⊙ O$ 的半径 $r$ ；

（3）在（1）的条件下，判断以 $A$ 、 $O$ 、 $E$ 、 $F$ 为顶点的四边形为哪种特殊四边形，并说明理由．

东东玩具商店用500元购进一批悠悠球，很受中小学生欢迎，悠悠球很快售完，接着又用900元购进第二批这种悠悠球，所购数量是第一批数量的1.5倍，但每套进价多了5元．

（1）求第一批悠悠球每套的进价是多少元；

（2）如果这两批悠悠球每套售价相同，且全部售完后总利润不低于 $25 %$ ，那么每套悠悠球的售价至少是多少元？

两栋居民楼之间的距离 $CD = 30$ 米，楼 $AC$ 和 $BD$ 均为10层，每层楼高3米．

（1）上午某时刻，太阳光线 $GB$ 与水平面的夹角为 $30 °$ ，此刻 $B$ 楼的影子落在 $A$ 楼的第几层？

（2）当太阳光线与水平面的夹角为多少度时， $B$ 楼的影子刚好落在 $A$ 楼的底部？

某学校要开展校园文化艺术节活动，为了合理编排节目，对学生最喜爱的歌曲、舞蹈、小品、相声四类节目进行了一次随机抽样调查（每名学生必须选择且只能选择一类），并将调查结果绘制成如下不完整统计图．

请你根据图中信息，回答下列问题：

（1）本次共调查了　　名学生．

（2）在扇形统计图中，“歌曲”所在扇形的圆心角等于　　度．

（3）补全条形统计图（标注频数）．

（4）根据以上统计分析，估计该校2000名学生中最喜爱小品的人数为　　人．

（5）九年一班和九年二班各有2名学生擅长舞蹈，学校准备从这4名学生中随机抽取2名学生参加舞蹈节目的编排，那么抽取的2名学生恰好来自同一个班级的概率是多少？

如图，直线 $y = x - 3$ 与坐标轴交于 $A$ 、 $B$ 两点，抛物线 $y = \frac{1}{4} x^{2} + bx + c$ 经过点 $B$ ，与直线 $y = x - 3$ 交于点 $E (8, 5)$ ，且与 $x$ 轴交于 $C$ ， $D$ 两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）抛物线上有一点 $M$ ，当 $∠ MBE = 75 °$ 时，求点 $M$ 的横坐标；

（3）点 $P$ 在抛物线上，在坐标平面内是否存在点 $Q$ ，使得以点 $P$ ， $Q$ ， $B$ ， $C$ 为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点 $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由．