解方程：.-优题课

在一个不透明的盒子中装有大小和形状相同的3个红球和2个白球，把它们充分搅匀．

（1）“从中任意抽取1个球不是红球就是白球”是　　事件，“从中任意抽取1个球是黑球”是　　事件；

（2）从中任意抽取1个球恰好是红球的概率是　　；

（3）学校决定在甲、乙两名同学中选取一名作为学生代表发言，制定如下规则：从盒子中任取两个球，若两球同色，则选甲；若两球异色，则选乙．你认为这个规则公平吗？请用列表法或画树状图法加以说明．

在如图所示的平面直角坐标系中，已知点 $A (- 3, - 3)$ ，点 $B (- 1, - 3)$ ，点 $C (- 1, - 1)$ ．

（1）画出 $ΔABC$ ；

（2）画出 $ΔABC$ 关于 $x$ 轴对称的△ $A_{1} B_{1} C_{1}$ ，并写出 $A_{1}$ 点的坐标：　　；

（3）以 $O$ 为位似中心，在第一象限内把 $ΔABC$ 扩大到原来的两倍，得到△ $A_{2} B_{2} C_{2}$ ，并写出 $A_{2}$ 点的坐标：　　．

如图，在 $▱ ABCD$ 中，过 $B$ 点作 $BM ⊥ AC$ 于点 $E$ ，交 $CD$ 于点 $M$ ，过 $D$ 点作 $DN ⊥ AC$ 于点 $F$ ，交 $AB$ 于点 $N$ ．

（1）求证：四边形 $BMDN$ 是平行四边形；

（2）已知 $AF = 12$ ， $EM = 5$ ，求 $AN$ 的长．

抛物线 $y = 4 x^{2} - 2 ax + b$ 与 $x$ 轴相交于 $A (x_{1}$ ， $0)$ ， $B (x_{2}$ ， $0) (0 < x_{1} < x_{2})$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

（1）设 $AB = 2$ ， $\tan ∠ ABC = 4$ ，求该抛物线的解析式；

（2）在（1）中，若点 $D$ 为直线 $BC$ 下方抛物线上一动点，当 $ΔBCD$ 的面积最大时，求点 $D$ 的坐标；

（3）是否存在整数 $a$ ， $b$ 使得 $1 < x_{1} < 2$ 和 $1 < x_{2} < 2$ 同时成立，请证明你的结论．

如图1，在平面直角坐标系， $O$ 为坐标原点，点 $A (- 1, 0)$ ，点 $B (0, \sqrt{3})$ ．

（1）求 $∠ BAO$ 的度数；

（2）如图1，将 $ΔAOB$ 绕点 $O$ 顺时针旋转得△ $A' OB'$ ，当 $A'$ 恰好落在 $AB$ 边上时，设△ $AB' O$ 的面积为 $S_{1}$ ，△ $BA' O$ 的面积为 $S_{2}$ ， $S_{1}$ 与 $S_{2}$ 有何关系？为什么？

（3）若将 $ΔAOB$ 绕点 $O$ 顺时针旋转到如图2所示的位置， $S_{1}$ 与 $S_{2}$ 的关系发生变化了吗？证明你的判断．