解不等式组，并在数轴上表示解集．-优题课

先化简，再求值： ${(a + 1)}^{2} + a (1 - a) - 1$ ，其中 $a = \sqrt{7}$ ．

在平面直角坐标系中，函数 $y = x^{2} - 2 ax - 1 (a$ 为常数）的图象与 $y$ 轴交于点 $A$ ．

（1）求点 $A$ 的坐标．

（2）当此函数图象经过点 $(1, 2)$ 时，求此函数的表达式，并写出函数值 $y$ 随 $x$ 的增大而增大时 $x$ 的取值范围．

（3）当 $x ⩽ 0$ 时，若函数 $y = x^{2} - 2 ax - 1 (a$ 为常数）的图象的最低点到直线 $y = 2 a$ 的距离为2，求 $a$ 的值．

（4）设 $a < 0$ ， $Rt Δ EFG$ 三个顶点的坐标分别为 $E (- 1, - 1)$ 、 $F (- 1, a - 1)$ 、 $G (0, a - 1)$ ．当函数 $y = x^{2} - 2 ax - 1 (a$ 为常数）的图象与 $ΔEFG$ 的直角边有交点时，交点记为点 $P$ ．过点 $P$ 作 $y$ 轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为 $P' (P'$ 与 $P$ 不重合），过点 $A$ 作 $y$ 轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为 $A'$ ．若 $AA' = 2 PP'$ ，直接写出 $a$ 的值．

如图①，在 $ΔABC$ 中， $∠ ABC = 90 °$ ， $AB = 4$ ， $BC = 3$ ．点 $P$ 从点 $A$ 出发，沿折线 $AB - BC$ 以每秒5个单位长度的速度向点 $C$ 运动，同时点 $D$ 从点 $C$ 出发，沿 $CA$ 以每秒2个单位长度的速度向点 $A$ 运动，点 $P$ 到达点 $C$ 时，点 $P$ 、 $D$ 同时停止运动．当点 $P$ 不与点 $A$ 、 $C$ 重合时，作点 $P$ 关于直线 $AC$ 的对称点 $Q$ ，连结 $PQ$ 交 $AC$ 于点 $E$ ，连结 $DP$ 、 $DQ$ ．设点 $P$ 的运动时间为 $t$ 秒．

（1）当点 $P$ 与点 $B$ 重合时，求 $t$ 的值．

（2）用含 $t$ 的代数式表示线段 $CE$ 的长．

（3）当 $ΔPDQ$ 为锐角三角形时，求 $t$ 的取值范围．

（4）如图②，取 $PD$ 的中点 $M$ ，连结 $QM$ ．当直线 $QM$ 与 $ΔABC$ 的一条直角边平行时，直接写出 $t$ 的值．

【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内容．

1．把一张矩形纸片如图那样折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么？

【问题解决】如图①，已知矩形纸片 $ABCD (AB > AD)$ ，将矩形纸片沿过点 $D$ 的直线折叠，使点 $A$ 落在边 $DC$ 上，点 $A$ 的对应点为 $A'$ ，折痕为 $DE$ ，点 $E$ 在 $AB$ 上．求证：四边形 $AEA' D$ 是正方形．

【规律探索】由【问题解决】可知，图①中的△ $A' DE$ 为等腰三角形．现将图①中的点 $A'$ 沿 $DC$ 向右平移至点 $Q$ 处（点 $Q$ 在点 $C$ 的左侧），如图②，折痕为 $PF$ ，点 $F$ 在 $DC$ 上，点 $P$ 在 $AB$ 上，那么 $ΔPQF$ 还是等腰三角形吗？请说明理由．

[结论应用]在图②中，当 $QC = QP$ 时，将矩形纸片继续折叠如图③，使点 $C$ 与点 $P$ 重合，折痕为 $QG$ ，点 $G$ 在 $AB$ 上．要使四边形 $PGQF$ 为菱形，则 $\frac{AD}{AB} =$ 　　．

已知 $A$ 、 $B$ 两地之间有一条长240千米的公路．甲车从 $A$ 地出发匀速开往 $B$ 地，甲车出发两小时后，乙车从 $B$ 地出发匀速开往 $A$ 地，两车同时到达各自的目的地．两车行驶的路程之和 $y$ （千米）与甲车行驶的时间 $x$ （时 $)$ 之间的函数关系如图所示．

（1）甲车的速度为　　千米 $/$ 时， $a$ 的值为　　．

（2）求乙车出发后， $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式．

（3）当甲、乙两车相距100千米时，求甲车行驶的时间．