如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面A-优题课

题文

如图，在四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，侧棱 $A_{1} A ⊥ 底面 A B C D$ , $A B ⊥ A C, A B = 1, A C = A A_{1} = 2, A D = C D = \sqrt{5}$ ,且点M和N分别为 $B_{1} C 和 D_{1} D$ 的中点.

（Ⅰ）求证： $M N ∥$ 平面 $A B C D$ ；
（Ⅱ）求二面角 $D_{1} - A C - B_{1}$ 的正弦值；
（Ⅲ）设 $E$ 为棱 $A_{1} B_{1}$ 上的点，若直线 $N E$ 和平面 $A B C D$ 所成角的正弦值为 $\frac{1}{3}$ ，求线段 $A_{1} E$ 的长

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如图，椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的焦点F₁，F₂和短轴的一个端点A构成等边三角形，
点(，)在椭圆C上，直线l为椭圆C的左准线．
（1）求椭圆C的方程；
（2）点P是椭圆C上的动点，PQ ⊥l，垂足为Q．
是否存在点P，使得△F₁PQ为等腰三角形？
若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

设有半径为3的圆形村落，、两人同时从村落中心出发。一直向北直行；先向东直行，出村后一段时间，改变前进方向，沿着与村落边界相切的直线朝所在的方向前进。
（1）若在距离中心5的地方改变方向，建立适当坐标系，
求：改变方向后前进路径所在直线的方程
（2）设、两人速度一定，其速度比为，且后来恰与相遇.问两人在何处相遇？
（以村落中心为参照，说明方位和距离）

如图，A点在x轴上方，外接圆半径，弦在轴上且轴垂直平分边，
(1)求外接圆的标准方程
(2)求过点且以为焦点的椭圆方程

在平行四边形中，，点是线段的中点，线段与交于点，
（1）求直线的方程
（2）求点的坐标．

（本小题满分14分）已知函数=，.
（1）求函数在区间上的值域；
（2）是否存在实数，对任意给定的，在区间上都存在两个不同的，使得成立.若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.
（3）给出如下定义：对于函数图象上任意不同的两点，如果对于函数图象上的点（其中总能使得成立，则称函数具备性质“”，试判断函数是不是具备性质“”，并说明理由.

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